실수

대수 중등 · v3 · 🤖 LLM 버전

정의

실수(實數)는 유리수와 무리수를 통틀어 이르는 수이다. 유리수는 $\dfrac{p}{q}$ ($p, q$는 정수, $q \neq 0$) 꼴로 나타낼 수 있는 수이고, 무리수는 그런 꼴로 나타낼 수 없는 수이다. 실수 전체의 집합은 기호로 $\mathbb{R}$로 나타내며, 실수는 수직선 위의 점과 일대일로 대응된다. 즉 수직선 위의 모든 점에 실수 하나씩이 대응되고, 반대로 모든 실수는 수직선 위의 한 점으로 표시된다.

직관

수직선을 하나 그려 놓고 정수부터 점을 찍어 나간다고 생각해 보자. 정수만 찍으면 점들 사이에 큰 간격이 남고, 유리수까지 찍으면 그 간격이 촘촘해지지만 여전히 빈틈이 남는다. 예를 들어 $\sqrt{2}$나 $\pi$처럼 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수들이 그 빈틈에 해당한다. 실수는 이러한 무리수까지 모두 채워 넣어 수직선에 "구멍"이 하나도 남지 않도록 만든 수 체계라고 이해하면 된다. 이 완전함(연속성) 덕분에 실수는 극한, 함수의 연속, 넓이·부피 계산처럼 "빈틈없이 이어짐"을 전제로 하는 개념들의 기반이 된다.

유도

유리수와 순환소수에서 배웠듯이, 유리수를 소수로 나타내면 항상 유한소수이거나 순환소수가 된다. 예를 들어 $\dfrac12=0.5$(유한소수), $\dfrac13=0.333\ldots$(순환소수)이다. 거꾸로 유한소수나 순환소수는 항상 분수 $\dfrac{p}{q}$ 꼴로 되돌릴 수 있으므로, "소수로 나타냈을 때 유한소수 또는 순환소수가 된다"는 성질은 곧 유리수임을 뜻한다.

그런데 제곱근과 무리수에서 다뤘던 $\sqrt2$를 실제로 소수로 계산해 보면 $$\sqrt2 = 1.41421356\ldots$$ 처럼 소수점 아래 숫자가 끝나지도 않고, 어떤 숫자 묶음이 되풀이되지도 않는다. 이런 수는 앞서 세운 기준(유한소수 또는 순환소수 ⟺ 유리수)에 들어맞지 않으므로 유리수가 아니다. 즉 유리수만으로는 이런 수를 표현할 방법이 없다.

이 사실은 수직선에 유리수만 찍어서는 모든 점을 다 채울 수 없다는 것을 뜻한다. 유리수 사이사이에 "순환하지 않는 무한소수"에 해당하는 점들이 남아 있는 것이다. 그래서 이런 순환하지 않는 무한소수를 무리수라고 이름 붙이고, 유리수와 무리수를 합쳐 수직선의 모든 점을 빠짐없이 나타내는 수 전체를

$$\mathbb{R} = \{\text{유리수}\} \cup \{\text{무리수}\}$$

로 정의한다. 이렇게 정의하면 "소수로 나타낼 수 있는 모든 수(유한소수, 순환소수, 순환하지 않는 무한소수)"가 곧 실수 전체가 되고, 실수와 수직선 위의 점이 하나도 빠짐없이 대응하게 된다.

성질

• 분류: 실수는 유리수(정수, 정수가 아닌 유리수)와 무리수로 나뉘며, 이는 서로 배타적이다. $$\mathbb{R} = \{\text{유리수}\} \cup \{\text{무리수}\}$$
• 사칙연산에 대한 닫힘성: 두 실수의 합, 차, 곱은 항상 실수이고, 0이 아닌 실수로 나눈 몫도 실수이다.
• 순서(대소 관계): 임의의 두 실수 $a, b$에 대해 $a<b$, $a=b$, $a>b$ 중 하나만 성립한다. 이 순서는 부등식과 절대부등식을 다룰 때 기본 전제가 된다.
• 조밀성: 임의의 서로 다른 두 실수 사이에는 항상 또 다른 실수(사실은 무수히 많은 유리수와 무리수)가 존재한다.
• 절댓값: 실수 $a$의 절댓값은 $$|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ -a & (a<0) \end{cases}$$ 으로 정의되며, 수직선 위에서 원점으로부터의 거리를 나타낸다.
• 제곱의 부호: 모든 실수 $a$에 대해 $a^2 \geq 0$이 성립한다. 이는 이차방정식의 판별식이나 이차부등식을 풀 때 실수해의 존재 여부를 판단하는 근거가 된다.

예시

• $\sqrt{2}$가 무리수임은 다음과 같이 확인할 수 있다. $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ ($p,q$는 서로소인 정수)라고 가정하면 $p^2 = 2q^2$이 되어 $p$가 짝수여야 하고, 이를 대입하면 $q$도 짝수가 되어 $p, q$가 서로소라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 $\sqrt{2}$는 유리수가 아닌 실수, 즉 무리수이다.
• $3.5 = \dfrac{7}{2}$는 유리수이면서 실수이고, $-\dfrac{1}{3}$, $0$, $\sqrt{5}$, $\pi$ 모두 실수이다.
• $|-4| = 4$, $|3| = 3$이며, 실수 $a$에 대해 $a^2 \geq 0$이므로 방정식 $x^2 = -1$은 실수 범위에서 해를 갖지 않는다.

🌍 실생활 예시

목수나 건축 설계자가 한 변의 길이가 $1\,\text{m}$인 정사각형 모양의 판자를 만들 때, 그 대각선의 길이는 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\,\text{m}$가 된다. 이 값은 아무리 정밀하게 재도 유한소수나 순환소수로 딱 떨어지지 않는 무리수이므로, 실제 작업에서는 $1.414\,\text{m}$처럼 필요한 정밀도만큼 반올림해서 사용한다. 이처럼 길이·넓이 같은 실제 측정값은 정수나 분수만으로는 정확히 표현되지 않는 경우가 많고, 이를 오차 없이 다루기 위한 수 체계가 바로 실수이다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: 소수점 아래가 무한히 계속되는 수는 모두 무리수다. 왜 틀렸는지: $0.333\ldots\left(=\dfrac13\right)$처럼 숫자가 무한히 이어지더라도 특정 마디가 반복되는 순환소수는 분수로 바꿀 수 있으므로 유리수이다. 무리수는 "무한히 계속되면서 동시에 순환하지 않는" 소수만 해당한다.
• 잘못된 생각: 근호(√) 기호가 붙어 있으면 그 수는 항상 무리수다. 왜 틀렸는지: $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$처럼 근호 안의 수가 완전제곱수이면 근호가 벗겨져 정수(유리수)가 된다. 근호가 있느냐가 아니라 근호를 벗겼을 때 유리수로 정리되느냐가 기준이다.
• 잘못된 생각: 무리수끼리 더하거나 곱하면 결과도 항상 무리수다. 왜 틀렸는지: $\sqrt2+(-\sqrt2)=0$, $\sqrt2\times\sqrt2=2$처럼 무리수끼리의 연산 결과가 유리수가 되는 경우도 있다. (반대로 유리수가 아닌 수 + 유리수는 항상 무리수이다.)

확인 문제

1. 다음 수를 유리수와 무리수로 분류하시오: $\sqrt{16}$, $\sqrt{5}$, $1.2\overline{3}$, $\pi$, $-\dfrac{3}{7}$
2. 실수 $a=\sqrt2$, $b=-\sqrt2$에 대해 $a+b$의 값을 구하고, 이 결과가 "무리수끼리 더하면 항상 무리수가 된다"는 주장이 틀렸음을 어떻게 보여 주는지 설명하시오.
3. 수직선 위에서 $2$와 $3$ 사이에 있는 무리수를 하나 제시하시오.

📜 역사

고대 그리스의 피타고라스학파는 세상의 모든 길이의 비가 정수의 비, 즉 유리수로 표현된다고 믿었다. 그러나 정사각형의 한 변과 대각선의 길이의 비가 어떤 정수의 비로도 나타낼 수 없다는 사실이 드러나면서 이 믿음은 무너졌고, 이것이 무리수의 존재가 처음 알려진 사건으로 여겨진다. 이후 오랫동안 무리수는 이름 그대로 "이치(비율)에 맞지 않는 수"로 취급되며 엄밀한 정의 없이 다루어졌다. 19세기 들어 미적분학의 극한 개념을 논리적으로 뒷받침할 필요성이 커지자, 리하르트 데데킨트는 1872년 유리수 집합을 둘로 나누는 "데데킨트 절단"이라는 방법으로, 게오르크 칸토어는 유리수의 수열(코시 수열)을 이용하는 방법으로 각각 실수를 엄밀하게 구성해 냈다. 이 두 구성 방법 덕분에 "수직선에는 빈틈이 없다"는 직관이 논리적으로 정당화되었고, 오늘날 실수는 이러한 엄밀한 정의 위에서 다루어진다.

관련 개념

• 집합 — 실수 전체를 하나의 집합 $\mathbb{R}$로 다루는 기본 언어이다.
• 부등식, 절대부등식 — 실수의 순서 관계를 이용해 대소를 비교하고 다루는 이론이다.
• 무리함수 — 무리수를 함숫값으로 갖는 함수를 정의할 때 실수의 완전성이 전제된다.
• 복소수 — 실수 범위에서 해가 없는 $x^2=-1$과 같은 방정식을 다루기 위해 실수를 확장한 수 체계이다.
• 함수의 극한 — 실수의 조밀성과 연속성을 바탕으로 극한 개념이 성립한다.