실수

대수 중등 · v1 · 🤖 LLM 버전

정의

실수(實數)는 유리수와 무리수를 통틀어 이르는 수이다. 유리수는 $\dfrac{p}{q}$ ($p, q$는 정수, $q \neq 0$) 꼴로 나타낼 수 있는 수이고, 무리수는 그런 꼴로 나타낼 수 없는 수이다. 실수 전체의 집합은 기호로 $\mathbb{R}$로 나타내며, 실수는 수직선 위의 점과 일대일로 대응된다. 즉 수직선 위의 모든 점에 실수 하나씩이 대응되고, 반대로 모든 실수는 수직선 위의 한 점으로 표시된다.

직관

수직선을 하나 그려 놓고 정수부터 점을 찍어 나간다고 생각해 보자. 정수만 찍으면 점들 사이에 큰 간격이 남고, 유리수까지 찍으면 그 간격이 촘촘해지지만 여전히 빈틈이 남는다. 예를 들어 $\sqrt{2}$나 $\pi$처럼 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수들이 그 빈틈에 해당한다. 실수는 이러한 무리수까지 모두 채워 넣어 수직선에 "구멍"이 하나도 남지 않도록 만든 수 체계라고 이해하면 된다. 이 완전함(연속성) 덕분에 실수는 극한, 함수의 연속, 넓이·부피 계산처럼 "빈틈없이 이어짐"을 전제로 하는 개념들의 기반이 된다.

성질

• 분류: 실수는 유리수(정수, 정수가 아닌 유리수)와 무리수로 나뉘며, 이는 서로 배타적이다. $$\mathbb{R} = \{\text{유리수}\} \cup \{\text{무리수}\}$$
• 사칙연산에 대한 닫힘성: 두 실수의 합, 차, 곱은 항상 실수이고, 0이 아닌 실수로 나눈 몫도 실수이다.
• 순서(대소 관계): 임의의 두 실수 $a, b$에 대해 $a<b$, $a=b$, $a>b$ 중 하나만 성립한다. 이 순서는 부등식과 절대부등식을 다룰 때 기본 전제가 된다.
• 조밀성: 임의의 서로 다른 두 실수 사이에는 항상 또 다른 실수(사실은 무수히 많은 유리수와 무리수)가 존재한다.
• 절댓값: 실수 $a$의 절댓값은 $$|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ -a & (a<0) \end{cases}$$ 으로 정의되며, 수직선 위에서 원점으로부터의 거리를 나타낸다.
• 제곱의 부호: 모든 실수 $a$에 대해 $a^2 \geq 0$이 성립한다. 이는 이차방정식의 판별식이나 이차부등식을 풀 때 실수해의 존재 여부를 판단하는 근거가 된다.

예시

• $\sqrt{2}$가 무리수임은 다음과 같이 확인할 수 있다. $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ ($p,q$는 서로소인 정수)라고 가정하면 $p^2 = 2q^2$이 되어 $p$가 짝수여야 하고, 이를 대입하면 $q$도 짝수가 되어 $p, q$가 서로소라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 $\sqrt{2}$는 유리수가 아닌 실수, 즉 무리수이다.
• $3.5 = \dfrac{7}{2}$는 유리수이면서 실수이고, $-\dfrac{1}{3}$, $0$, $\sqrt{5}$, $\pi$ 모두 실수이다.
• $|-4| = 4$, $|3| = 3$이며, 실수 $a$에 대해 $a^2 \geq 0$이므로 방정식 $x^2 = -1$은 실수 범위에서 해를 갖지 않는다.

관련 개념

• 집합 — 실수 전체를 하나의 집합 $\mathbb{R}$로 다루는 기본 언어이다.
• 부등식, 절대부등식 — 실수의 순서 관계를 이용해 대소를 비교하고 다루는 이론이다.
• 무리함수 — 무리수를 함숫값으로 갖는 함수를 정의할 때 실수의 완전성이 전제된다.
• 복소수 — 실수 범위에서 해가 없는 $x^2=-1$과 같은 방정식을 다루기 위해 실수를 확장한 수 체계이다.
• 함수의 극한 — 실수의 조밀성과 연속성을 바탕으로 극한 개념이 성립한다.