수열
해석
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함수 (중등)정의
수열(數列, sequence)은 자연수 전체의 집합 $\mathbb{N}$(또는 그 일부)을 정의역으로 하는 함수 $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$의 함숫값
$$a(1),\ a(2),\ a(3),\ \ldots$$
을 차례로 나열한 것이다. 이때 $a(n)$을 $a_n$으로 쓰고, 수열 전체는 $\{a_n\}$($a_n$ 수열이라 읽는다)으로 나타낸다. $a_1, a_2, a_3, \ldots$을 각각 제1항(첫째항), 제2항, 제3항, $\ldots$이라 하고, $a_n$을 이 수열의 일반항(general term)이라 한다.
수열을 나타내는 방법은 두 가지다.
- 일반항으로 정의: $a_n = 2n-1$처럼 $n$에 대한 식으로 바로 표현.
- 귀납적 정의(recursive definition): 처음 몇 항의 값과, 이웃한 항 사이의 관계식(점화식)으로 표현. 예: $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2$($a_{n+1}$은 "에이 엔 플러스 원"이라 읽는다).
직관
수열은 "순서가 매겨진 무한한 숫자 목록"이다. 함수가 입력 하나에 출력 하나를 대응시키듯, 수열은 자연수 $n$(몇 번째인지)에 실수 $a_n$(그 자리의 값)을 대응시키는 함수라고 보면 된다. 예를 들어 어떤 규칙으로 계단을 오를 때 $n$번째 계단의 높이를 $a_n$이라 하면, 계단 전체의 높이 목록이 하나의 수열이 된다. 일반항 식은 "몇 번째 항인지 알면 그 값을 바로 계산"하는 데 유용하고, 귀납적 정의는 "바로 앞 항으로부터 다음 항을 만들어 가는" 규칙을 드러낸다는 점에서 서로 다른 쓸모가 있다.
성질 — 항과 합의 관계
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$($\sum$는 시그마, "케이는 1부터 엔까지의 합"이라 읽는다)라 하면, 일반항과 합 사이에는 다음 관계가 성립한다.
$$a_1 = S_1,\qquad a_n = S_n - S_{n-1}\ (n\ge 2)$$
이는 임의의 수열에서 $S_n$만 알아도 $a_n$을 복원할 수 있다는 뜻으로, 이후 등차수열, 등비수열의 합 공식을 다룰 때 핵심적으로 쓰인다.
예시
예시 1. 일반항이 $a_n = 3n-2$인 수열: $a_1=1,\ a_2=4,\ a_3=7,\ a_4=10,\ldots$
예시 2. 귀납적으로 정의된 수열 $a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n$: $a_2 = 2\cdot2=4,\ a_3=2\cdot4=8,\ a_4=16,\ldots$ (이 수열은 뒤에서 배울 등비수열이다.)
예시 3. $S_n = n^2$일 때 일반항 구하기: $a_1=S_1=1$, $n\ge2$이면 $a_n = S_n-S_{n-1} = n^2-(n-1)^2 = 2n-1$. 확인: $a_1=2\cdot1-1=1$로 일치하므로 $a_n=2n-1\ (n\ge1)$.
아래는 예시 1(등차적 증가, 직선)과 예시 2(귀납적 증가, 지수적)의 일반항을 실수 $x$에 대한 연속함수로 확장해 성장 속도 차이를 비교한 그래프다.
⚠️ 흔한 실수
- 잘못된 생각: $a_n$의 $n$을 "0번째부터 시작"으로 착각해 $a_0$을 첫째항으로 여긴다. → 왜 틀렸는지: 수열의 정의역은 자연수 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$이므로 첫째항은 항상 $a_1$이다. 특별한 언급 없이 $a_0$부터 시작한다고 가정하면 안 된다.
- 잘못된 생각: 귀납적 정의 $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2$에서 일반항이 궁금해 곧바로 "$a_n = 2n$"이라 추측하고 끝낸다. → 왜 틀렸는지: 추측만으로는 검산이 안 된 것이다. $a_1=1$인데 $a_n=2n$이면 $a_1=2$가 되어 모순이다. 실제 일반항은 $a_n = 2n-1$이며, 반드시 초항을 대입해 확인해야 한다.
- 잘못된 생각: $a_n = S_n - S_{n-1}$ 공식을 $n=1$일 때도 그대로 적용해 $a_1 = S_1 - S_0$을 계산하려 한다. → 왜 틀렸는지: $S_0$은 정의되지 않으므로(항이 하나도 없는 합) 이 식은 $n\ge2$에서만 성립하고, $a_1$은 반드시 $a_1=S_1$로 따로 구해야 한다.
확인 문제
- 수열 $\{a_n\}$의 일반항이 $a_n = \dfrac{n+1}{n}$일 때, $a_3$의 값을 구하시오.
- 수열이 $a_1=3,\ a_{n+1}=a_n-2$로 귀납적으로 정의될 때, $a_4$의 값을 구하시오.
- 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이 $S_n = n^2+n$일 때, 일반항 $a_n$을 구하시오.
정답 보기
- $a_3 = \dfrac{3+1}{3} = \dfrac{4}{3}$
- $a_2=3-2=1,\ a_3=1-2=-1,\ a_4=-1-2=-3$
- $a_1=S_1=1^2+1=2$. $n\ge2$일 때 $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-\{(n-1)^2+(n-1)\}=2n$. $n=1$을 대입하면 $2$로 일치하므로 $a_n=2n\ (n\ge1)$.
관련 개념
- 함수 — 수열은 정의역이 자연수인 함수로 이해할 수 있다.
- 등차수열 — 이웃한 항의 차가 일정한 수열.
- 등비수열 — 이웃한 항의 비가 일정한 수열.
- 수학적 귀납법 — 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 증명할 때 쓰인다.
- 수열의 극한 — 항수 $n$이 한없이 커질 때 수열이 다가가는 값을 다룬다.