수열(數列, sequence)은 자연수 전체의 집합 $\mathbb{N}$(또는 그 일부)을 정의역으로 하는 함수 $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$의 함숫값
$$a(1),\ a(2),\ a(3),\ \ldots$$
을 차례로 나열한 것이다. 이때 $a(n)$을 $a_n$으로 쓰고, 수열 전체는 $\{a_n\}$($a_n$ 수열이라 읽는다)으로 나타낸다. $a_1, a_2, a_3, \ldots$을 각각 제1항(첫째항), 제2항, 제3항, $\ldots$이라 하고, $a_n$을 이 수열의 일반항(general term)이라 한다.
수열을 나타내는 방법은 두 가지다.
수열은 "순서가 매겨진 무한한 숫자 목록"이다. 함수가 입력 하나에 출력 하나를 대응시키듯, 수열은 자연수 $n$(몇 번째인지)에 실수 $a_n$(그 자리의 값)을 대응시키는 함수라고 보면 된다. 예를 들어 어떤 규칙으로 계단을 오를 때 $n$번째 계단의 높이를 $a_n$이라 하면, 계단 전체의 높이 목록이 하나의 수열이 된다. 일반항 식은 "몇 번째 항인지 알면 그 값을 바로 계산"하는 데 유용하고, 귀납적 정의는 "바로 앞 항으로부터 다음 항을 만들어 가는" 규칙을 드러낸다는 점에서 서로 다른 쓸모가 있다.
이미 아는 함수는 $y=f(x)$처럼 실수 전체(또는 어떤 구간)를 정의역으로 삼아, $x$가 연속적으로 변할 때 $y$가 어떻게 변하는지를 나타낸다. 그런데 "$n$번째 달 저축액", "$n$번째 계단의 높이"처럼 순서를 매겨 셀 수 있는 대상을 다룰 때는, $x=1.5$나 $x=\sqrt{2}$ 같은 값은 애초에 의미가 없다 — 오직 $1, 2, 3, \ldots$번째라는 자연수 자리만 뜻을 가진다. 그래서 함수의 정의역을 통째로 자연수 집합 $\mathbb{N}$으로 좁히면, 그 함수 $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$가 곧 수열이고, $a(n)$을 $a_n$으로 줄여 쓰는 것이 자연스러운 표기가 된다.
이렇게 정의역을 자연수로 좁히고 나면 그 함수(수열)를 표현하는 방법이 두 갈래로 갈린다. 하나는 함수식처럼 $n$을 넣으면 $a_n$이 바로 나오는 일반항 표현이고, 다른 하나는 "다음 자리 값이 바로 앞자리 값으로부터 어떻게 만들어지는가"만 알려 주는 귀납적 정의다. 두 표현이 실제로 같은 정보를 담고 있는지 확인해 보자. 예시 2의 $a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n$을 항을 하나씩 대입해 풀어 보면
$$a_2 = 2a_1,\quad a_3 = 2a_2 = 2(2a_1)=2^2a_1,\quad a_4=2a_3=2(2^2a_1)=2^3a_1,\ \ldots$$
이므로 일반적으로 $a_n = 2^{\,n-1}a_1 = 2^{\,n-1}\cdot 2 = 2^n$이다. 즉 귀납적 정의를 반복 대입해 규칙을 찾으면 일반항 $a_n=2^n$이 얻어지고, 이는 예시 2에서 직접 계산한 $2,4,8,16,\ldots$과 정확히 일치한다. 이렇게 "이웃한 항끼리의 관계 → 반복 대입 → 일반항 발견"으로 이어지는 과정은, 뒤에서 배울 등차수열과 등비수열의 일반항·합 공식을 유도할 때도 그대로 쓰이는 기본 도구다.
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$($\sum$는 시그마, "케이는 1부터 엔까지의 합"이라 읽는다)라 하면, 일반항과 합 사이에는 다음 관계가 성립한다.
$$a_1 = S_1,\qquad a_n = S_n - S_{n-1}\ (n\ge 2)$$
이는 임의의 수열에서 $S_n$만 알아도 $a_n$을 복원할 수 있다는 뜻으로, 이후 등차수열, 등비수열의 합 공식을 다룰 때 핵심적으로 쓰인다.
예시 1. 일반항이 $a_n = 3n-2$인 수열: $a_1=1,\ a_2=4,\ a_3=7,\ a_4=10,\ldots$
예시 2. 귀납적으로 정의된 수열 $a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n$: $a_2 = 2\cdot2=4,\ a_3=2\cdot4=8,\ a_4=16,\ldots$ (이 수열은 뒤에서 배울 등비수열이다.)
예시 3. $S_n = n^2$일 때 일반항 구하기: $a_1=S_1=1$, $n\ge2$이면 $a_n = S_n-S_{n-1} = n^2-(n-1)^2 = 2n-1$. 확인: $a_1=2\cdot1-1=1$로 일치하므로 $a_n=2n-1\ (n\ge1)$.
아래는 예시 1(등차적 증가, 직선)과 예시 2(귀납적 증가, 지수적)의 일반항을 실수 $x$에 대한 연속함수로 확장해 성장 속도 차이를 비교한 그래프다.
은행의 정기적금 계산기가 실제로 수열을 사용하는 대표적인 예다. 매달 초에 일정 금액을 저축하고 그달까지 쌓인 원리금 합계를 $n$번째 달의 잔액 $a_n$이라 하면, 다음 달 잔액은 그달 이자와 새 납입금을 더해 $a_{n+1} = a_n\times(1+r) + d$($r$: 월 이자율, $d$: 매달 납입액)처럼 바로 앞 항으로부터 다음 항이 정해지는 귀납적 정의의 형태로 나타난다. 은행 앱이 보여 주는 "몇 개월 뒤 예상 수령액"은 바로 이 점화식을 $n$번 반복 계산한 값이다.
고대 바빌로니아 사람들은 이자 계산이나 별의 위치 예측에 필요한 값들을 일정한 규칙으로 나열한 표를 점토판에 남겼는데, 이것이 오늘날 수열 개념의 원형으로 여겨진다. 이탈리아의 레오나르도 피보나치는 1202년 저서 산반서(Liber Abaci)에서 토끼 개체수 증가 문제를 풀며 각 달의 토끼 쌍의 수를 바로 앞의 두 항의 합으로 정의했는데, 이는 귀납적 정의로 수열을 다룬 대표적인 초기 사례다(피보나치수열). 이후 17~18세기에 미적분학이 발전하면서 함수를 무한히 많은 항의 합(급수)으로 나타낼 필요가 커졌고, 이를 위해 수열과 급수를 다루는 이론이 체계적으로 정리되었다. 이 과정에서 오일러는 여러 항을 차례로 더하는 합의 기호 $\sum$(시그마)를 도입해, 오늘날까지 쓰이는 수열·급수 표기의 틀을 세웠다.