함수

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정의

함수(function) $f: X \to Y$는 집합 $X$의 각 원소에 대해 집합 $Y$의 원소가 오직 하나씩 대응하는 규칙이다. $X$를 정의역, $Y$를 공역, 실제로 대응되는 값들의 집합 $\{f(x) \mid x \in X\}$를 치역이라 한다.

직관

함수는 "입력을 넣으면 출력이 정해지는 기계"다. 정의의 두 조건이 핵심이다:

1. 모든 입력에 대해 출력이 있어야 하고 (빠짐 없이)
2. 한 입력에 출력이 하나만 있어야 한다 (애매함 없이)

같은 입력을 넣었는데 어제와 오늘 다른 값이 나오면 함수가 아니다. 이 "결정성"이 함수를 수학적 추론의 대상으로 만들어준다.

🧑‍🏫 쉬운 설명

함수에서 많은 학생이 처음 걸리는 부분은 **"출력이 하나만 있어야 한다"**는 조건이다. 왜 이렇게까지 따질까? 자판기를 떠올려 보면 쉽다. '콜라' 버튼을 눌렀는데 어떤 날은 콜라, 어떤 날은 사이다가 나온다면 그건 믿고 쓸 수 있는 기계가 아니다. 함수를 엄격하게 정의하는 이유도 같다 — 같은 입력에 늘 같은 출력이 나와야, 즉 예측이 가능해야 계산의 대상이 된다.

또 하나 짚어둘 것은 함수가 "식"이 아니라는 점이다. $f(x) = 2x+1$ 같은 식은 함수를 표현하는 한 가지 방법일 뿐이고, 함수의 본질은 "입력 → 출력의 대응 규칙" 그 자체다. 표로 주어지든, 그래프로 주어지든, "각 학생에게 그 학생의 키를 대응한다"는 말로 주어지든 모두 함수다. 식에만 초점을 맞추면 "$x^2 + y^2 = 1$은 왜 함수가 아닐까?" 같은 물음에서 막히기 쉽다 — $x = 0$에 $y$가 $1$과 $-1$ 둘 대응해 "하나만" 조건을 어기기 때문이다.

핵심은 두 가지다. 빠짐없이(정의역의 모든 값에 대해), 그리고 애매함 없이(출력은 하나). 이 둘만 기억하면 함수 문제의 상당수가 정리된다.

예시

• $f(x) = x^2$ : 실수 전체에서 정의된 함수. $f(2) = 4$, $f(-2) = 4$ — 서로 다른 입력이 같은 출력을 갖는 것은 허용된다.
• $g(x) = 2x + 1$ : 일차함수. 아래 그래프에서 곡선($x^2$)과 직선($2x+1$)의 모양 차이를 비교해 보자.

• 원의 방정식 $x^2 + y^2 = 1$은 $y$를 $x$의 함수로 보면 함수가 아니다: $x = 0$에 $y = 1$과 $y = -1$ 두 값이 대응하기 때문.

주요 분류와 개념

• 그래프가 직선인 일차함수, 포물선인 이차함수
• 두 함수를 이어 붙이는 합성함수: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$
• 대응을 거꾸로 뒤집은 역함수 $f^{-1}$ — 일대일 대응일 때만 존재한다
• 지수함수, 로그함수, 삼각함수 같은 초월함수

⚠️ 흔한 실수

• "그래프에 있는 선은 다 함수다" → 세로선 테스트로 확인해야 한다. 수직선 $x = a$가 그래프와 두 번 이상 만나면 함수가 아니다 (원이 대표적).
• $f(a+b) = f(a) + f(b)$로 착각 → 일반 함수에서는 성립하지 않는다. $f(x) = x^2$이면 $f(1+2) = 9$이지만 $f(1) + f(2) = 5$다.
• 치역과 공역의 혼동 → 공역은 "출력이 살 수 있는 집 전체", 치역은 "실제로 출력이 사는 곳"이다. 치역은 항상 공역의 부분집합이다.

확인 문제

1. $f(x) = 3x - 2$일 때 $f(4)$의 값은?
2. 대응 $x \to y$가 "$y$는 $x$의 약수"일 때, 이 대응은 함수인가? 이유와 함께 답하라.
3. $f(x) = x^2$에서 $f(a) = 9$가 되는 $a$를 모두 구하라.

관련 개념

• 함수의 변화율을 다루는 것이 미분계수와 도함수다
• 입력이 자연수인 함수가 수열이다
• 일차변환은 "벡터를 입력받아 벡터를 내놓는" 특별한 함수다