함수

🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 집합 (고등)

정의

함수(function) $f: X \to Y$는 집합 $X$의 각 원소에 대해 집합 $Y$의 원소가 오직 하나씩 대응하는 규칙이다. $X$를 정의역, $Y$를 공역, 실제로 대응되는 값들의 집합 $\{f(x) \mid x \in X\}$를 치역이라 한다.

직관

함수는 "입력을 넣으면 출력이 정해지는 기계"다. 정의의 두 조건이 핵심이다:

모든 입력에 대해 출력이 있어야 하고 (빠짐 없이)
한 입력에 출력이 하나만 있어야 한다 (애매함 없이)

같은 입력을 넣었는데 어제와 오늘 다른 값이 나오면 함수가 아니다. 이 "결정성"이 함수를 수학적 추론의 대상으로 만들어준다.

🧑‍🏫 쉬운 설명

함수에서 많은 학생이 처음 걸리는 부분은 "출력이 하나만 있어야 한다"는 조건이다. 왜 이렇게까지 따질까? 자판기를 떠올려 보면 쉽다. '콜라' 버튼을 눌렀는데 어떤 날은 콜라, 어떤 날은 사이다가 나온다면 그건 믿고 쓸 수 있는 기계가 아니다. 함수를 엄격하게 정의하는 이유도 같다 — 같은 입력에 늘 같은 출력이 나와야, 즉 예측이 가능해야 계산의 대상이 된다.

또 하나 짚어둘 것은 함수가 "식"이 아니라는 점이다. $f(x) = 2x+1$ 같은 식은 함수를 표현하는 한 가지 방법일 뿐이고, 함수의 본질은 "입력 → 출력의 대응 규칙" 그 자체다. 표로 주어지든, 그래프로 주어지든, "각 학생에게 그 학생의 키를 대응한다"는 말로 주어지든 모두 함수다. 식에만 초점을 맞추면 "$x^2 + y^2 = 1$은 왜 함수가 아닐까?" 같은 물음에서 막히기 쉽다 — $x = 0$에 $y$가 $1$과 $-1$ 둘 대응해 "하나만" 조건을 어기기 때문이다.

핵심은 두 가지다. 빠짐없이(정의역의 모든 값에 대해), 그리고 애매함 없이(출력은 하나). 이 둘만 기억하면 함수 문제의 상당수가 정리된다.

유도

함수의 정의에 붙은 두 조건("모든 입력에 대해", "오직 하나씩")은 까다로워 보이지만, 실은 "대응을 계산 대상으로 삼겠다"는 목표에서 하나씩 강제된 것이다.

① 무엇을 다루려는 건가. 우리가 붙잡고 싶은 것은 "한쪽이 정해지면 다른 쪽이 정해진다"는 관계다. 시간이 정해지면 위치가 정해지고, 반지름이 정해지면 원의 넓이가 정해진다.

② 식은 본질이 아니다. 처음에는 이 관계를 $y = 2x+1$처럼 식으로 적으면 충분해 보인다. 하지만 도시별 인구를 적은 표도, 하루 동안 기록한 온도 그래프도 똑같이 "한쪽이 정해지면 다른 쪽이 정해지는" 관계다. 식이라는 겉모습을 벗기고 남는 것은 입력에 출력을 붙이는 대응 하나뿐이다. 그래서 정의에 "규칙"이라는 말만 남는다.

③ 그럼 아무 대응이나 되는가. 두 가지가 곧 막힌다.

어떤 입력에 출력이 둘 붙어 있으면, $f(0)$이라 써도 그것이 어느 값인지 정해지지 않는다. 값이 정해지지 않으면 더 이상 계산을 이어갈 수 없다.
정의역에 넣어 둔 입력 중 출력이 없는 것이 있으면, 그 입력에서 식이 멈춘다.

그러므로 계산을 끝까지 밀고 가려면 "빠짐없이, 애매함 없이"를 처음부터 요구해야 한다. 정의의 두 조건은 편의가 아니라 필요조건이다.

④ 어디서 어디로인지도 말해야 한다. 대응만으로는 부족하다. $f(x) = \sqrt{x}$를 실수 전체에서 생각하면 음수 입력에서 ③의 둘째 조건이 깨지고, $x \ge 0$으로 한정하면 멀쩡한 함수가 된다. 즉 같은 식이라도 정의역을 무엇으로 잡느냐에 따라 함수가 되기도, 안 되기도 한다. 그래서 함수는 언제나 $f : X \to Y$처럼 정의역과 공역을 함께 밝힌다. 실제로 값이 나오는 부분만 모은 것이 치역이고, 치역은 공역의 부분집합이다.

⑤ 그림으로 옮기면 수직선 판정법. 대응을 순서쌍 $(x, f(x))$ 전부의 집합으로 보면 그것이 곧 그래프다. 조건 ③의 첫째를 그래프의 말로 바꾸면 "세로선 $x = a$가 그래프와 두 점 이상에서 만나면 안 된다"가 된다. 원 $x^2 + y^2 = 1$이 함수가 아닌 이유가 여기서 눈으로 보인다 — $x = 0$에서 세로선이 $(0, 1)$과 $(0, -1)$ 두 점을 지나기 때문이다.

예시

$f(x) = x^2$ : 실수 전체에서 정의된 함수. $f(2) = 4$, $f(-2) = 4$ — 서로 다른 입력이 같은 출력을 갖는 것은 허용된다.
$g(x) = 2x + 1$ : 일차함수. 아래 그래프에서 곡선($x^2$)과 직선($2x+1$)의 모양 차이를 비교해 보자.

원의 방정식 $x^2 + y^2 = 1$은 $y$를 $x$의 함수로 보면 함수가 아니다: $x = 0$에 $y = 1$과 $y = -1$ 두 값이 대응하기 때문.

주요 분류와 개념

그래프가 직선인 일차함수, 포물선인 이차함수
두 함수를 이어 붙이는 합성함수: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$
대응을 거꾸로 뒤집은 역함수 $f^{-1}$ — 일대일 대응일 때만 존재한다
지수함수, 로그함수, 삼각함수 같은 초월함수

⚠️ 흔한 실수

"그래프에 있는 선은 다 함수다" → 세로선 테스트로 확인해야 한다. 수직선 $x = a$가 그래프와 두 번 이상 만나면 함수가 아니다 (원이 대표적).
$f(a+b) = f(a) + f(b)$로 착각 → 일반 함수에서는 성립하지 않는다. $f(x) = x^2$이면 $f(1+2) = 9$이지만 $f(1) + f(2) = 5$다.
치역과 공역의 혼동 → 공역은 "출력이 살 수 있는 집 전체", 치역은 "실제로 출력이 사는 곳"이다. 치역은 항상 공역의 부분집합이다.

확인 문제

$f(x) = 3x - 2$일 때 $f(4)$의 값은?
대응 $x \to y$가 "$y$는 $x$의 약수"일 때, 이 대응은 함수인가? 이유와 함께 답하라.
$f(x) = x^2$에서 $f(a) = 9$가 되는 $a$를 모두 구하라.

정답 보기

$f(4) = 3 \cdot 4 - 2 = 10$
함수가 아니다 — 예를 들어 $x = 6$에는 약수 $1, 2, 3, 6$ 여러 개가 대응하므로 "출력이 하나"라는 조건을 어긴다.
$a = 3$ 또는 $a = -3$ — 서로 다른 입력이 같은 출력을 가질 수 있으므로 둘 다 답이다.

📜 역사

'함수'라는 말(라틴어 functio)은 17세기 후반 고트프리트 라이프니츠가 곡선에 딸려 변하는 양들을 가리키며 쓰기 시작했다. 처음 이 말은 오늘처럼 넓은 뜻이 아니라, 곡선 위에서 점이 움직일 때 함께 변하는 접선의 길이 같은 구체적 대상을 뜻했다.

레온하르트 오일러가 표기와 정의를 크게 밀고 나갔다. 우리가 쓰는 $f(x)$ 표기가 그에게서 퍼졌고, 1748년의 교재에서 그는 함수를 "변수와 상수로 이루어진 해석적 식"으로 정의했다. 18세기의 함수는 곧 식이었다.

이 정의가 무너진 계기는 물리 문제였다. 진동하는 현의 모양과 푸리에의 열 전도 연구(1822)에서, 구간마다 다른 규칙으로 주어지거나 하나의 식으로 적을 수 없는 대응까지 다뤄야 한다는 것이 드러났다. 그래서 페터 구스타프 디리클레는 1837년 식이라는 조건을 아예 걷어내고 **"$x$가 정해질 때 $y$가 하나 정해지면, 그 대응이 어떤 규칙이든 함수다"**라고 정의했다. 이 문서의 정의가 바로 그것이며, 뒤에 집합론이 정리되면서 함수는 순서쌍의 집합으로 못박혔다.