🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 정수와 유리수 · 분수 (초등) · 소인수분해
정의
유리수는 두 정수 $a$, $b$ ($b \neq 0$)를 사용하여 $\dfrac{a}{b}$ 꼴로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 모든 유리수는 소수로 나타내면 유한소수(소수점 아래 자릿수가 유한한 소수) 또는 순환소수가 된다.
순환소수란 소수점 아래 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열이 끝없이 되풀이되는 무한소수를 말한다. 되풀이되는 부분을 순환마디라 하고, 순환마디의 양 끝 숫자 위에 점을 찍어 나타낸다.
$$\frac{1}{3} = 0.333\cdots = 0.\dot{3}$$
$0.\dot{3}$은 "영 점 삼 순환소수"라고 읽으며, 순환마디는 $3$이다. 순환마디가 두 자리 이상이면 양 끝에 점을 찍는다. 예를 들어 $\dfrac{1}{7} = 0.142857142857\cdots = 0.\dot{1}4285\dot{7}$이다.
직관
분수를 나눗셈으로 계산하다 보면 나머지가 유한 번 안에 $0$이 되거나(→ 유한소수), 나머지가 이전에 나왔던 값과 똑같이 되풀이되는 순간이 반드시 온다(→ 순환소수). 나눗셈의 나머지는 나누는 수보다 작은 자연수이므로 그 종류가 유한하고, 언젠가는 반드시 같은 나머지가 다시 나타날 수밖에 없기 때문이다. 즉 순환소수는 "나눗셈이 영원히 끝나지 않지만, 그 안에서 똑같은 패턴이 반복되는" 소수라고 이해하면 된다.
성질 — 유한소수와 순환소수의 판별
기약분수(더 이상 약분되지 않는 분수) $\dfrac{a}{b}$에서 분모 $b$를 소인수분해했을 때,
$$100x = 45.454545\cdots, \quad x = 0.454545\cdots$$
$$100x - x = 45 \;\Rightarrow\; 99x = 45 \;\Rightarrow\; x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$
순환마디의 자릿수만큼 $10$의 거듭제곱을 곱해 빼면 순환하는 부분이 사라진다는 것이 이 방법의 핵심이다.
🌍 실생활 예시
물건 값을 여러 사람이 나눠 낼 때 순환소수가 자주 등장한다. 예를 들어 10,000원짜리 물건을 3명이 똑같이 나눠 내면 1인당 $\dfrac{10000}{3} = 3333.\dot{3}$원이 되어 정확히 나누어떨어지지 않는다. 실제로는 이 순환소수를 그대로 쓸 수 없으므로 3334원씩 걷고 남는 2원을 처리하는 식으로 반올림·절사하여 사용한다. 이렇게 순환소수가 나오는 상황을 미리 알면 "왜 딱 나누어떨어지지 않는가"를 이해하고 합리적으로 반올림 규칙을 정할 수 있다.
⚠️ 흔은 실수
잘못된 생각: "무한소수는 다 순환소수다." → 왜 틀렸는가: 원주율처럼 순환하지 않는 무한소수(무리수)도 있다. 순환소수는 유리수만을 대상으로 하며, 무리수는 소수점 아래에 일정한 패턴 없이 숫자가 계속된다.
잘못된 생각: $0.1\dot{6}$을 $0.\dot{1}\dot{6}$으로 표기한다. → 왜 틀렸는가: $0.1666\cdots$에서 순환마디는 $6$뿐이고 앞의 $1$은 순환하지 않는 부분이다. 점은 실제로 되풀이되는 숫자 위에만 찍어야 한다.
잘못된 생각: 분수 $\dfrac{6}{15}$을 약분 없이 분모 $15 = 3 \times 5$만 보고 "3이 있으니 순환소수"라고 판단한다. → 왜 틀렸는가: $\dfrac{6}{15}$은 기약분수가 아니다. 약분하면 $\dfrac{2}{5}$가 되어 분모의 소인수가 5뿐이므로 실제로는 유한소수($0.4$)이다.
확인 문제
$\dfrac{9}{16}$과 $\dfrac{7}{15}$을 각각 소수로 나타내고, 유한소수인지 순환소수인지 판별하시오.
$x = 0.\dot{7}$이라 하고, $10x - x$를 계산하는 과정을 직접 써서 $x$를 기약분수로 나타내시오. 이 과정에서 왜 $10$을 곱했는지, 왜 빼면 순환마디가 사라지는지 설명해 보시오.
$\dfrac{14}{35}$는 약분하지 않고 보면 분모에 소인수 $7$이 있어 보인다. 그런데 이 분수는 유한소수일까, 순환소수일까? 그 이유를 판별 방법에 따라 설명하시오.
$10x = 7.777\cdots$, $x = 0.777\cdots$이므로 $10x - x = 7$, 즉 $9x = 7 \Rightarrow x = \dfrac{7}{9}$. 순환마디가 한 자리이므로 $10$을 곱하면 소수점 위치가 순환마디 한 칸만큼 이동해서, 빼면 순환하는 부분끼리 정확히 상쇄된다.
$\dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5}$로 약분되므로 분모의 소인수는 $5$뿐이다. 따라서 유한소수이다($0.4$). 약분하지 않은 상태의 분모만 보고 판단하면 안 된다.