직각삼각형(한 각이 $90°$인 삼각형)에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 $a$, $b$라 하고, 직각과 마주보는 가장 긴 변인 빗변의 길이를 $c$라 하면 다음이 성립한다.
$$a^2+b^2=c^2$$
($a^2+b^2=c^2$은 "$a$ 제곱 더하기 $b$ 제곱은 $c$ 제곱과 같다"라고 읽는다.) 이를 피타고라스 정리라 한다. 거꾸로, 삼각형의 세 변 $a$, $b$, $c$가 $a^2+b^2=c^2$을 만족하면 그 삼각형은 반드시 직각삼각형이다(피타고라스 정리의 역).
직각삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 세 개 그려 보자. 직각을 낀 두 변 위에 그린 정사각형의 넓이를 더하면, 빗변 위에 그린 정사각형의 넓이와 정확히 같아진다. 즉 "작은 정사각형 두 개의 넓이 합 = 큰 정사각형 하나의 넓이"라는 그림으로 이해하면 공식이 왜 성립하는지 감이 잡힌다. 이 정리 덕분에 두 변의 길이만 알아도 나머지 한 변의 길이를 항상 구할 수 있다.
예시 1. 직각을 낀 두 변이 $3$cm, $4$cm인 직각삼각형의 빗변 길이는?
$$c^2 = 3^2+4^2 = 9+16 = 25 \;\Rightarrow\; c=\sqrt{25}=5\text{(cm)}$$
예시 2. 빗변이 $13$, 한 직각변이 $5$일 때 나머지 변의 길이는?
$$b^2 = 13^2-5^2 = 169-25=144 \;\Rightarrow\; b=\sqrt{144}=12$$
예시 3 (역의 활용). 세 변이 $6$, $8$, $10$인 삼각형이 직각삼각형인지 확인하면, $6^2+8^2=36+64=100=10^2$이므로 직각삼각형이 맞다.
건축 현장에서 벽이나 바닥의 모서리가 정확히 직각인지 확인할 때 "3-4-5 법"을 쓴다. 줄자로 한 변을 $3$m, 다른 변을 $4$m로 표시한 뒤 두 끝점 사이의 대각선 거리가 $5$m가 되도록 맞추면, $3^2+4^2=5^2$이 성립하므로 그 모서리는 정확한 직각이 된다. 값비싼 직각자 없이도 줄자만으로 직각을 확인할 수 있어 실제 건설·목공 현장에서 널리 쓰인다.
잘못된 생각: $\sqrt{a^2+b^2}$을 $a+b$로 계산한다. 왜 틀렸는지: 제곱근(루트, $\sqrt{\;}$)은 덧셈에 대해 분배되지 않는다. 예를 들어 $a=3$, $b=4$면 $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$이지만 $a+b=7$로 서로 다르다. 반드시 제곱을 먼저 더한 뒤 그 결과의 제곱근을 구해야 한다.
잘못된 생각: 문제에 주어진 아무 변이나 $c$(빗변)로 놓고 계산한다. 왜 틀렸는지: 빗변은 항상 직각과 마주보는, 가장 긴 변이어야 한다. 직각의 위치를 먼저 확인하지 않고 가장 마지막에 적힌 변이나 가장 긴 것처럼 보이는 변을 임의로 빗변으로 놓으면 식 자체가 틀어진다.
잘못된 생각: 직각삼각형이 아닌 일반 삼각형에도 $a^2+b^2=c^2$을 적용한다. 왜 틀렸는지: 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립한다. 직각인지 확인하지 않은 채 변의 길이만 보고 공식을 적용하면 틀린 결론에 이른다.