판별식

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이 개념은 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$)의 실근의 개수를 계수만으로 판단하는 도구인 판별식을 다룬다.

정의

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a, b, c$는 실수, $a \neq 0$)에서

$$D = b^2 - 4ac$$

를 이 방정식의 판별식(discriminant, $D$)이라 한다. 근의 공식

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

에서 $\pm$(플러스마이너스)와 $\sqrt{\ }$(루트) 안의 값이 바로 $D$이므로, $D$의 부호만으로 근호 안의 값이 양수·0·음수인지 알 수 있고 이에 따라 서로 다른 실근이 몇 개 존재하는지 판단할 수 있다.

• $D > 0$ : 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• $D = 0$ : 중근(重根, 중복되는 하나의 실근)을 갖는다.
• $D < 0$ : 서로 다른 두 허수근(실근은 없다)을 갖는다.

$b = 2b'$처럼 $b$가 짝수일 때는 계산을 줄이기 위해 $\dfrac{D}{4} = b'^2 - ac$를 판별식 대신 사용할 수 있으며, 부호에 대한 판정은 동일하게 적용된다.

직관

근의 공식에서 근호 안의 값이 답의 운명을 결정한다고 생각하면 된다. 제곱근 기호 안의 수가 양수면 서로 다른 두 값(더하기 결과, 빼기 결과)이 나오고, 0이면 더하나 빼나 같은 값이 나오며, 음수면 실수 범위에서는 아예 답을 구할 수 없다. 즉 판별식은 "근호 안에 들어갈 값의 부호를 미리 알려주는 계산기"다.

이는 이차함수 $y = ax^2+bx+c$의 그래프와도 정확히 대응한다. 이차방정식의 실근은 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표이므로, $D>0$이면 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만나고, $D=0$이면 한 점에서 접하며, $D<0$이면 $x$축과 만나지 않는다.

성질

• 이차함수 $y=ax^2+bx+c$가 $x$축과 만나는 점의 개수는 각각 2개, 1개, 0개이다 ($D>0,\ D=0,\ D<0$ 순).
• 이차부등식 $ax^2+bx+c>0$ 등의 해를 구할 때도 $D$의 부호에 따라 해의 모양이 달라진다.
• 근과 계수의 관계에서 두 실근이 존재하는지 확인할 때 $D\geq 0$ 조건을 함께 검토한다.
• $a, b, c$가 모두 실수일 때만 위 판정이 성립한다. (복소수 계수 방정식에서는 이런 방식의 판정이 그대로 적용되지 않는다.)

예시

예제 1. $x^2 - 4x + 3 = 0$의 근의 개수를 판별하시오.

$D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot3 = 16-12 = 4 > 0$이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. (실제로 $x=1, 3$)

예제 2. $x^2 - 4x + 4 = 0$은 어떠한가?

$D = 16 - 16 = 0$이므로 중근을 가지며, 이는 $x=2$이다.

예제 3. $x^2 - 4x + 5 = 0$은 어떠한가?

$D = 16 - 20 = -4 < 0$이므로 실근이 없다.

세 그래프를 함께 보면 $D$의 부호에 따라 $x$축과의 교점 개수가 어떻게 달라지는지 확인할 수 있다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: "$D=0$이면 근이 없다." 왜 틀렸는가: $D=0$은 두 근이 서로 같아져서 겹치는 경우(중근)이지, 근이 존재하지 않는 경우가 아니다. 근이 존재하지 않는 경우는 $D<0$일 때다.
• 잘못된 생각: 부등식 문제에서 "실근을 갖지 않는다"를 $D<0$ 대신 $D\leq 0$으로 계산한다. 왜 틀렸는가: $D=0$은 실근(중근)을 갖는 경우이므로 "실근을 갖지 않음"에는 포함되지 않는다. "실근을 갖거나 중근을 갖는다"(즉 실근이 적어도 하나)의 조건은 $D\geq 0$, "서로 다른 두 실근"은 $D>0$으로 구분해서 써야 한다.
• 잘못된 생각: 최고차항의 계수 $a$가 문자로 주어졌을 때 $a\neq 0$ 조건을 빼먹고 $D=b^2-4ac$만 계산한다. 왜 틀렸는가: $a=0$이면 애초에 이차방정식이 아니라 일차방정식(또는 상수식)이 되어 판별식 자체가 의미를 잃는다. 문자 계수 문제에서는 반드시 $a\neq 0$을 먼저 확인해야 한다.

확인 문제

1. $x^2 + 6x + k = 0$이 중근을 가지도록 하는 실수 $k$의 값을 구하시오.
2. 이차방정식 $2x^2 - 3x + 4 = 0$의 실근의 개수를 판별식을 이용해 구하시오.
3. $x^2 - 2x + m = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지도록 하는 실수 $m$의 범위를 구하시오.

관련 개념

• 이차방정식 — 판별식이 적용되는 대상 방정식.
• 근의 공식이 존재하지 않지만 제곱근과 무리수 — 근호 계산의 기초.
• 이차함수 — 판별식과 그래프의 $x$축 교점 개수를 연결하는 개념.
• 이차부등식 — 판별식의 부호로 해의 형태가 결정되는 후속 개념.
• 복소수 — $D<0$일 때 나타나는 근의 범위.