방정식(方程式)은 미지수를 포함하는 등식 중에서, 미지수에 대입하는 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 말한다. 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 근(해, solution)이라 하고, 주어진 방정식의 근을 모두 구하는 과정을 "방정식을 푼다"라고 한다.
이는 항등식과 구분된다. 항등식은 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식이다. 예를 들어 $x+x=2x$는 $x$에 어떤 실수를 넣어도 성립하므로 항등식이고, $2x-1=5$는 $x=3$일 때만 참이 되므로 방정식이다.
두 방정식 $P$, $Q$의 근이 서로 완전히 일치할 때, $P$와 $Q$를 동치방정식이라 하고 $P \Leftrightarrow Q$("$P$는 $Q$와 동치이다"라고 읽는다)로 나타낸다. 방정식을 푸는 과정은 결국 주어진 방정식을 더 간단한 동치방정식으로 차례로 변형해 나가는 과정이다.
방정식을 "저울"로 생각하면 이해하기 쉽다. 등호 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼거나(0이 아닌 수를) 곱하거나 나누어도 저울은 계속 평형을 유지한다 — 즉 해가 바뀌지 않는다. 반면 양변을 제곱하거나, 미지수가 포함된 식으로 양변을 나누는 것처럼 "일방적인" 변형은 저울의 평형 관계(동치성)를 깨뜨릴 수 있어서, 원래 없던 근이 생기거나 있던 근이 사라질 수 있다.
기하적으로는 $f(x)=g(x)$ 꼴의 방정식을 푸는 것은 두 그래프 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점의 $x$좌표를 찾는 것과 같다. 특히 $f(x)=0$ 꼴이면 $y=f(x)$ 그래프가 $x$축과 만나는 점, 즉 $x$절편을 찾는 문제가 된다.
먼저 등식이 무엇인지부터 다시 살펴보자. 문자와 식에서 등식 $A=B$는 $A$와 $B$가 나타내는 값이 같다는 뜻이었다. 그런데 $A$, $B$ 안에 미지수 $x$가 들어있으면, $x$에 어떤 수를 넣느냐에 따라 이 등식이 참이 될 수도, 거짓이 될 수도 있다는 사실을 관찰하는 데서 방정식이라는 개념이 필요해진다.
예를 들어 $2x-1=5$라는 등식을 보자. $x=3$을 넣으면 $2(3)-1=5$로 참이지만, $x=0$을 넣으면 $2(0)-1=-1\neq5$로 거짓이다. 즉 이 등식은 모든 $x$에 대해 참인 것도 아니고 모든 $x$에 대해 거짓인 것도 아니다 — 참이 되게 하는 $x$의 값을 찾는 문제가 자연스럽게 생긴다. 이것이 방정식과 그 근의 정의다.
그렇다면 근을 어떻게 "찾을" 것인가? $2x-1=5$를 눈으로 봐도 $x=3$이 근이라는 것은 알 수 있지만, 더 복잡한 식이라면 등식을 참으로 만드는 값을 논리적인 절차로 좁혀 나가야 한다. 등식이라는 것 자체가 "양쪽 값이 같다"는 뜻이므로, 같은 두 수에 같은 연산을 하면 결과도 여전히 같다는 사실을 이용할 수 있다: $A=B$이면 임의의 수 $c$에 대해 $A+c=B+c$이고, $c\neq0$이면 $Ac=Bc$ 역시 성립한다. 이 성질을 거꾸로 이용하면, $2x-1=5$의 양변에 $1$을 더해 $2x=6$을 얻고, 양변을 $0$이 아닌 수 $2$로 나누어 $x=3$을 얻을 수 있다. 이렇게 원래 등식과 정확히 같은 근을 갖는 등식으로 계속 바꿔 가는 것이 방정식을 "푸는" 과정이고, 이렇게 근이 완전히 같은 두 방정식을 동치방정식이라 부르는 이유도 여기에 있다.
그런데 모든 연산이 이 "같은 두 수에 같은 연산" 규칙을 그대로 따르는 것은 아니다. 양변을 제곱하는 경우를 생각해 보자. $A=B$이면 $A^2=B^2$은 항상 성립한다(같은 수를 두 번 곱했을 뿐이므로). 하지만 그 역, 즉 $A^2=B^2$이라고 해서 반드시 $A=B$인 것은 아니다 — $A=-B$인 경우에도 $A^2=B^2$이 성립하기 때문이다. 그래서 양변을 제곱해서 얻은 방정식은 원래 방정식보다 근이 더 많아질 수 있고(무연근), 반대로 미지수를 포함한 식으로 양변을 나누면 그 식이 $0$이 되는 경우의 근을 놓칠 수 있다. 방정식을 변형할 때 "동치성이 유지되는 조작"과 "유지되지 않는 조작"을 구분해야 하는 이유가 바로 여기서 나온다.
예시 1. $2x-1=5$를 풀면 $2x=6$, $x=3$이다. $x=3$을 대입하면 $2(3)-1=5$로 성립하므로 근이 맞다.
예시 2. $x^2-2x-3=0$은 좌변을 인수분해하여 $(x-3)(x+1)=0$이 되므로 $x=3$ 또는 $x=-1$이다. 이는 이차함수 $y=x^2-2x-3$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표와 같다.
예시 3 (동치성이 깨지는 경우). $\sqrt{x}=-2$는 좌변이 음이 아니므로 애초에 근이 존재하지 않는다. 그런데 양변을 제곱하면 $x=4$가 얻어진다. 이를 원래 식에 대입하면 $\sqrt{4}=2 \neq -2$이므로 $x=4$는 근이 아니다. 이렇게 변형 과정에서 생긴, 원래 방정식을 만족하지 않는 값을 무연근이라 한다.
두 휴대폰 요금제 중 어느 것이 유리한지 비교할 때 방정식을 쓴다. A 요금제는 기본료 $10000$원에 데이터 $1GB$당 $500$원이 추가되고, B 요금제는 기본료 $20000$원에 데이터 사용량과 무관하게 무제한이라고 하자. 한 달 데이터 사용량을 $x$ GB라 하면 두 요금제의 요금이 같아지는 지점은 $10000+500x=20000$이라는 방정식의 근으로 구해진다. 이를 풀면 $x=20$이므로, 한 달에 데이터를 $20GB$보다 적게 쓰면 A가, 그보다 많이 쓰면 B가 유리하다는 실용적인 결론을 얻는다.
"방정식"이라는 이름은 중국 고대의 수학 저작인 구장산술(九章算術)의 제8장 "방정"(方程)에서 유래했다. 이 장은 여러 미지수를 가진 연립일차방정식의 계수를 네모(方) 모양으로 배열한 산가지(算木)로 나타내고, 지금의 소거법과 비슷한 방식으로 풀어내는 방법을 다루고 있었다. 오늘날처럼 $x$, $y$ 같은 문자를 미지수로 삼아 등식을 한 줄로 적는 표기법은 훨씬 후대인 17세기에 자리 잡았다. 프랑스의 수학자 르네 데카르트는 1637년에 출간한 저서 《기하학》에서 알파벳 뒷부분 글자를 미지수로, 앞부분 글자를 이미 아는 값으로 쓰는 관습을 도입했고, 이것이 오늘날 방정식을 적는 표기법의 뿌리가 되었다.