방정식

대수 중등 고등 · v1 · 🤖 LLM 버전

정의

방정식(方程式)은 미지수를 포함하는 등식 중에서, 미지수에 대입하는 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 말한다. 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 근(해, solution)이라 하고, 주어진 방정식의 근을 모두 구하는 과정을 "방정식을 푼다"라고 한다.

이는 항등식과 구분된다. 항등식은 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식이다. 예를 들어 $x+x=2x$는 $x$에 어떤 실수를 넣어도 성립하므로 항등식이고, $2x-1=5$는 $x=3$일 때만 참이 되므로 방정식이다.

두 방정식 $P$, $Q$의 근이 서로 완전히 일치할 때, $P$와 $Q$를 동치방정식이라 하고 $P \Leftrightarrow Q$("$P$는 $Q$와 동치이다"라고 읽는다)로 나타낸다. 방정식을 푸는 과정은 결국 주어진 방정식을 더 간단한 동치방정식으로 차례로 변형해 나가는 과정이다.

직관

방정식을 "저울"로 생각하면 이해하기 쉽다. 등호 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼거나(0이 아닌 수를) 곱하거나 나누어도 저울은 계속 평형을 유지한다 — 즉 해가 바뀌지 않는다. 반면 양변을 제곱하거나, 미지수가 포함된 식으로 양변을 나누는 것처럼 "일방적인" 변형은 저울의 평형 관계(동치성)를 깨뜨릴 수 있어서, 원래 없던 근이 생기거나 있던 근이 사라질 수 있다.

기하적으로는 $f(x)=g(x)$ 꼴의 방정식을 푸는 것은 두 그래프 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점의 $x$좌표를 찾는 것과 같다. 특히 $f(x)=0$ 꼴이면 $y=f(x)$ 그래프가 $x$축과 만나는 점, 즉 $x$절편을 찾는 문제가 된다.

성질

• 미지수의 최고차항의 차수에 따라 일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식 등 다항방정식으로 분류된다.
• 무리식, 분수식, 삼각함수 등을 포함하면 각각 무리방정식, 분수방정식, 삼각방정식이라 부른다.
• 방정식을 변형할 때 다음 조작은 동치성을 보존한다: 양변에 같은 수/식을 더하거나 빼기, 양변에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누기.
• 반면 양변을 제곱하는 조작, 미지수를 포함한 식으로 양변을 나누는 조작은 동치성을 보존하지 않을 수 있으므로, 변형 후 반드시 원래 방정식에 대입하여 확인해야 한다.

예시

예시 1. $2x-1=5$를 풀면 $2x=6$, $x=3$이다. $x=3$을 대입하면 $2(3)-1=5$로 성립하므로 근이 맞다.

예시 2. $x^2-2x-3=0$은 좌변을 인수분해하여 $(x-3)(x+1)=0$이 되므로 $x=3$ 또는 $x=-1$이다. 이는 이차함수 $y=x^2-2x-3$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표와 같다.

예시 3 (동치성이 깨지는 경우). $\sqrt{x}=-2$는 좌변이 음이 아니므로 애초에 근이 존재하지 않는다. 그런데 양변을 제곱하면 $x=4$가 얻어진다. 이를 원래 식에 대입하면 $\sqrt{4}=2 \neq -2$이므로 $x=4$는 근이 아니다. 이렇게 변형 과정에서 생긴, 원래 방정식을 만족하지 않는 값을 무연근이라 한다.

⚠️ 흔한 실수

• 양변을 제곱하면 항상 동치라고 생각한다 → $A=B$와 $A^2=B^2$은 동치가 아니다. 후자는 $A=B$ 또는 $A=-B$인 경우를 모두 포함하므로, 제곱하여 얻은 해를 반드시 원래 방정식에 대입해 무연근을 걸러내야 한다.
• 미지수가 포함된 식으로 양변을 나누면서 근을 잃는다 → 예를 들어 $x^2=3x$를 풀 때 양변을 $x$로 나누어 $x=3$만 구하는 경우가 있다. 하지만 $x=0$일 가능성을 배제할 수 없으므로, $x(x-3)=0$처럼 인수분해하여 $x=0$ 또는 $x=3$을 모두 찾아야 한다. 미지수를 포함한 식으로 나누기 전에는 그 식이 $0$이 아님을 확인하거나, 애초에 나누지 말아야 한다.
• 방정식과 항등식을 혼동한다 → "$x$에 대한 등식이 항상 성립한다"는 조건이 주어지면 이는 항등식이므로 다항식의 계수를 비교해서 풀어야 하는데, 이를 특정 $x$값 하나를 대입해 계수를 구하는 방정식 문제처럼 접근하면 틀린다.

확인 문제

1. $x^2-5x+6=0$의 모든 근을 구하시오.
2. 방정식 $\sqrt{x+2}=x$를 풀고, 얻은 값 중 무연근이 있는지 확인하시오.
3. $(x-1)(x+4)=0$을 풀 때 "$x-1$로 양변을 나누어 $x+4=0$만 구하면 된다"는 풀이가 왜 틀렸는지 설명하시오.

관련 개념

• 문자와 식 — 미지수와 식을 다루는 기초
• 일차방정식, 이차방정식 — 가장 기본적인 다항방정식
• 인수분해 — 방정식을 $(\text{인수})\times(\text{인수})=0$ 꼴로 바꾸어 푸는 핵심 도구
• 판별식 — 이차방정식의 근의 개수를 판별
• 삼각방정식, 연립일차방정식, 부등식 — 방정식 개념이 확장·응용되는 이후 개념