무리함수

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정의

무리함수(無理函數)는 함수식이 근호 $\sqrt{\phantom{a}}$(루트)를 포함하고, 그 근호 안에 문자(변수)가 들어 있어서 다항식으로 나타낼 수 없는 함수를 말한다. 가장 기본적인 무리함수는

$$y=\sqrt{ax+b}+c \quad (a\neq 0)$$

의 꼴이며, 이 중에서도 $y=\sqrt{x}$가 기본형이다. 근호 안의 식(근호 안의 값을 피제곱근식이라 한다)은 반드시 $0$ 이상이어야 하므로, 무리함수의 정의역은 $ax+b \ge 0$을 만족하는 $x$의 값 전체로 제한된다.

직관

무리함수는 이차함수 $y=x^2$을 "거꾸로 뒤집은" 함수라고 생각하면 이해하기 쉽다. $y=x^2\,(x\ge 0)$의 그래프를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동하면 $y=\sqrt{x}$의 그래프가 되는데, 이는 무리함수가 이차함수(제한된 정의역에서)의 역함수이기 때문이다. 그래서 $y=\sqrt{x}$의 그래프는 이차함수 그래프의 절반을 눕혀 놓은 듯한 모양이 된다.

근호 안이 음수가 되면 안 되기 때문에, 무리함수는 함수 전체 구간이 아니라 "정의역이 반직선(半直線)으로 잘려 있는" 함수라는 점이 특징이다. 이 제한된 정의역을 정확히 찾는 것이 무리함수 문제의 출발점이다.

성질

• $y=\sqrt{ax+b}+c\,(a>0)$: 정의역은 $x \ge -\dfrac{b}{a}$, 치역은 $y\ge c$이고, 정의역에서 $x$가 커질수록 $y$도 커지는 증가함수이다.
• $y=\sqrt{ax+b}+c\,(a<0)$: 정의역은 $x \le -\dfrac{b}{a}$, 치역은 $y\ge c$이고, $x$가 커질수록 $y$는 작아지는 감소함수이다.
• $y=\sqrt{ax+b}+c$의 그래프는 $y=\sqrt{ax}$의 그래프를 $x$축 방향으로 $-\dfrac{b}{a}$만큼, $y$축 방향으로 $c$만큼 평행이동한 것과 같다.
• $y=\sqrt{x}\,(x\ge 0)$의 역함수는 $y=x^2\,(x\ge 0)$이며, 두 그래프는 직선 $y=x$에 대칭이다.

예시

예시 1. $y=\sqrt{x-2}+1$의 정의역과 치역을 구해 보자. 근호 안이 $0$ 이상이어야 하므로 $x-2\ge 0$, 즉 정의역은 $x\ge 2$이다. 이때 $\sqrt{x-2}\ge 0$이므로 치역은 $y\ge 1$이다.

예시 2. $x=6$을 대입하면 $y=\sqrt{6-2}+1=\sqrt{4}+1=2+1=3$이다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: $y=\sqrt{ax+b}+c$ 문제에서 정의역을 따지지 않고 아무 실수나 대입해서 계산한다. 왜 틀렸는가: 근호 안이 음수이면 실수 범위에서 함숫값이 존재하지 않는다. 예를 들어 $y=\sqrt{2-x}$에 $x=5$를 넣으면 $\sqrt{-3}$이 되어 정의되지 않는다. 반드시 먼저 $ax+b\ge 0$을 풀어 정의역을 확인해야 한다.
• 잘못된 생각: $a<0$인 경우에도 무리함수는 항상 $y=\sqrt{x}$처럼 증가하는 그래프라고 생각한다. 왜 틀렸는가: $a$의 부호에 따라 정의역이 왼쪽($x\le$ 어떤 값) 또는 오른쪽($x\ge$ 어떤 값)으로 달라지고, 그래프가 증가하는지 감소하는지도 달라진다. $a<0$이면 정의역이 왼쪽으로 뻗으며 $x$가 커질수록 $y$는 작아진다.
• 잘못된 생각: $y=\sqrt{x}$의 역함수를 구하면서 정의역 제한 없이 $y=x^2$이 곧바로 역함수라고 쓴다. 왜 틀렸는가: $y=\sqrt{x}$의 치역이 $y\ge 0$이므로 역함수의 정의역도 $x\ge 0$으로 제한되어야 한다. $y=x^2\,(x\in\mathbb{R})$ 전체는 일대일함수가 아니므로 역함수를 가질 수 없고, $x\ge 0$으로 제한한 $y=x^2$만이 올바른 역함수이다.

확인 문제

1. 함수 $y=\sqrt{3-x}+2$의 정의역과 치역을 각각 구하시오.
2. 함수 $y=\sqrt{2x+4}$의 그래프는 $y=\sqrt{2x}$의 그래프를 $x$축 방향으로 얼마만큼 평행이동한 것인지 구하시오.
3. $y=\sqrt{x}\,(x\ge 0)$의 역함수를 구하고, 그 정의역을 밝히시오.

관련 개념

• 제곱근과 무리수
• 이차함수
• 함수
• 역함수
• 유리함수