분수는 전체를 똑같이 나눈 것 중 몇 개인지를 나타내는 수다. 예를 들어 피자 한 판을 똑같이 4조각으로 나눈 것 중 3조각을 $\frac{3}{4}$(4분의 3)이라고 쓴다. 아래쪽 수(분모)는 전체를 몇 조각으로 나누었는지를, 위쪽 수(분자)는 그중 몇 조각을 가졌는지를 나타낸다.
친구 3명이 사탕 한 봉지를 똑같이 나눠 먹는다고 생각해 보자. 봉지를 3등분해서 한 명이 한 조각씩 가지면, 한 사람의 몫은 $\frac{1}{3}$(3분의 1)이다. 분수는 "자연수로 딱 떨어지지 않는 양"을 정확하게 표현하기 위해 필요하다. 사탕 1개를 3명이 나누면 자연수로는 답을 쓸 수 없지만, 분수로는 $\frac{1}{3}$씩이라고 정확히 쓸 수 있다.
선수 개념인 나눗셈에서는 12÷4=3처럼 나누어떨어지는 경우만 다루었다. 그런데 사탕 1개를 3명이 나누어 먹으려 하면 어떻게 될까? 1÷3을 자연수의 범위에서 계산하면 몫도 나머지도 자연수로 딱 떨어지지 않아, 한 사람 몫을 자연수로 쓸 방법이 없다.
이 막힘을 뚫으려면 사탕 1개를 통째로 나누는 대신 잘게 쪼개야 한다. 사탕을 크기가 똑같은 3조각으로 자르면, 한 사람은 그 조각 중 1개를 갖는다. 이렇게 만든 조각 하나의 크기를 $\frac{1}{3}$이라 이름 붙이면, "1을 3으로 나눈 몫"을 정확한 수로 나타낼 수 있게 된다.
이 방법을 사탕 2개를 3명이 나누는 경우로 넓혀 보자. 사탕 2개를 각각 3조각으로 자르면 조각은 모두 $2\times 3=6$개이고, 한 사람은 그중 2조각, 즉 $\frac{1}{3}$짜리 조각 2개를 받는다. 이를 $\frac{2}{3}$라고 쓰면, 일반적으로 자연수 $a$를 자연수 $b$로 나눈 몫은 $\frac{a}{b}$로 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있다. 분모가 "전체를 나눈 조각 수", 분자가 "가진 조각 수"가 되는 이유가 여기서 나온다.
예시 1. 용돈 1000원 중 500원을 저금했다면, 저금한 몫은 $\frac{500}{1000} = \frac{1}{2}$, 즉 전체의 절반이다.
예시 2. 케이크를 8조각으로 나누어 3조각을 먹었다면 먹은 양은 $\frac{3}{8}$이다. 남은 조각은 8-3=5조각이므로 남은 양은 $\frac{5}{8}$이다.
예시 3. $\frac{9}{4}$는 가분수다. 9를 4로 나누면 몫이 2, 나머지가 1이므로 대분수로 바꾸면 $2\frac{1}{4}$(2와 4분의 1)이다.
시계를 볼 때 분수를 자연스럽게 쓴다. 1시간을 두 조각으로 똑같이 나눈 것이 30분이므로 30분을 $\frac{1}{2}$시간이라 하고, "몇 시 반"이라는 말은 여기서 나온다. 요리할 때도 계량컵으로 밀가루 $\frac{2}{3}$컵, 설탕 $\frac{1}{4}$컵처럼 컵 하나를 다 채우지 못하는 양을 분수로 정확히 나타낸다.
분수는 고대 이집트에서 곡식이나 빵을 여러 사람에게 똑같이 나눠 줄 때 생긴 불편을 해결하려고 쓰이기 시작했다. 기원전 1650년경에 만들어진 것으로 추정되는 린드 파피루스에는 분자가 1인 분수(단위분수)들을 합으로 표현한 계산법이 많이 남아 있는데, 당시에는 $\frac{2}{5}$ 같은 분수도 $\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$처럼 단위분수의 합으로만 표기했다. 지금처럼 분모와 분자 사이에 가로줄을 긋는 표기법은 그보다 훨씬 뒤 아라비아 수학자들이 정착시켰고, 13세기 유럽에 이 표기법이 전해지면서 오늘날 쓰는 분수 표기의 기본 형태가 갖추어졌다.