복소수는 실수 $a,b$와 허수단위 $i$($i^2=-1$)를 사용하여
$$z=a+bi\quad(a,b\in\mathbb{R})$$
꼴로 나타낸 수이다. $a$를 $z$의 실수부, $b$를 허수부라 하고 각각 $\operatorname{Re}(z)=a$, $\operatorname{Im}(z)=b$로 쓴다. $b=0$이면 $z$는 실수이고, $b\neq 0$이면 허수, 특히 $a=0,\ b\neq 0$이면 순허수라 한다.
두 복소수 $a+bi$와 $c+di$가 서로 같다는 것은 $a=c$이고 $b=d$인 것으로 정의한다. 복소수 전체의 집합을 보통 $\mathbb{C}$로 나타내며, 실수는 $\mathbb{C}$의 부분집합이다.
수직선 위의 실수만으로는 모든 이차방정식을 풀 수 없다. 예를 들어 $x^2+1=0$은 실수 범위에서 해가 없는데, 이는 "제곱해서 음수가 되는 수"가 실수 안에 존재하지 않기 때문이다. 복소수는 이 문제를 해결하기 위해 $i^2=-1$을 만족하는 새로운 수 $i$를 도입하고, 실수를 확장하여 만든 수 체계이다.
직관적으로는 수직선(1차원)을 평면(2차원)으로 넓힌다고 생각하면 된다. 실수부 $a$는 가로 방향, 허수부 $b$는 세로 방향의 크기로 대응시키면 복소수 $a+bi$는 평면 위의 점 또는 벡터처럼 다룰 수 있다. 이 그림을 구체화한 것이 복소평면이다.
두 복소수 $a+bi$, $c+di$에 대해 사칙연산은 다음과 같다.
$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$ $$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$
나눗셈은 켤레복소수 $\overline{z}=a-bi$를 이용한다. $z=a+bi\ (z\neq 0)$일 때
$$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$$
이며, $z\overline{z}=a^2+b^2$는 항상 음이 아닌 실수이다. 복소수의 절댓값은 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$로 정의하며, 복소평면에서 원점으로부터 점 $z$까지의 거리를 나타낸다.
$z_1=2+3i,\ z_2=1-4i$일 때
이차방정식 $x^2+x+1=0$은 판별식 $D=1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$이므로 실근이 없지만, 근의 공식으로
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$$
와 같이 복소수 범위에서 두 허근을 갖는다.