부등식

정의

부등식(不等式)은 두 수나 두 식의 대소 관계를 부등호 $>, <, \ge, \le$를 사용하여 나타낸 식이다. 예를 들어 $x - 3 > 5$는 "$x-3$은 $5$보다 크다"는 뜻의 부등식이다.

$a > b$: $a$는 $b$보다 크다
$a \ge b$: $a$는 $b$보다 크거나 같다 (등호를 포함한다)
$a < b$, $a \le b$는 각각 반대 방향의 관계

부등식에 포함된 미지수에 특정한 값을 대입했을 때 부등식이 참이 되게 하는 값을 그 부등식의 해라 하고, 해 전체의 집합을 해집합이라 한다. 부등식을 만족하는 모든 해를 구하는 과정을 부등식을 푼다고 한다.

직관

방정식이 저울의 양쪽이 정확히 균형을 이루는 상황이라면, 부등식은 저울의 한쪽이 다른 쪽보다 무겁게 기울어 있는 상황이다. 방정식의 해는 보통 하나(또는 몇 개)의 점으로 정해지지만, 부등식의 해는 대개 수직선 위의 구간, 즉 무수히 많은 값의 모임이 된다는 점이 가장 큰 차이다. 이 때문에 부등식을 다룰 때는 "등호가 있는 상태를 유지하며 변형하는 것"뿐 아니라 "부등호의 방향이 언제 바뀌는가"를 정확히 통제하는 것이 핵심 기술이 된다.

성질

$a, b, c$가 실수일 때 다음이 성립한다.

$a > b$이면 $a + c > b + c$, $a - c > b - c$ (양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로다)
$a > b$이고 $c > 0$이면 $ac > bc$, $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ (양수를 곱하거나 나누어도 방향 유지)
$a > b$이고 $c < 0$이면 $ac < bc$, $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ (음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀐다)
$a > b, b > c$이면 $a > c$ (추이율)

예시

예시 1. $2x + 1 > 5$를 풀면, 양변에서 $1$을 빼서 $2x > 4$, 양변을 양수 $2$로 나누어 $x > 2$. 해집합은 $\{x \mid x > 2\}$이다.

예시 2. $-3x + 2 < 11$을 풀면, $-3x < 9$이고 여기서 음수 $-3$으로 양변을 나누므로 부등호 방향이 바뀌어 $x > -3$이다.

위 그래프에서 직선 $y = 2x+1$이 수평선 $y=5$보다 위쪽에 있는 $x$의 범위(즉 $x>2$)가 예시 1의 해집합에 대응한다.

⚠️ 흔한 실수

잘못된 생각: 부등식 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때도 부등호 방향을 그대로 둔다. → 왜 틀렸는지: $-2x > 6$의 양변을 $-2$로 나눌 때 $x > -3$이라 쓰면 틀린다. 음수로 나누면 크기 관계가 뒤집히므로 올바른 해는 $x < -3$이다. 실제로 $x=-4$를 넣으면 $-2\times(-4)=8>6$으로 참이지만, $x=-2$를 넣으면 $-2\times(-2)=4<6$으로 거짓임을 확인할 수 있다.
잘못된 생각: $a < b$이면 항상 $a^2 < b^2$이다. → 왜 틀렸는지: 부등식의 성질은 곱하는 수가 양수일 때만 방향을 보장한다. $a=-3,\ b=2$이면 $-3<2$이지만 $a^2=9 > 4=b^2$이므로 성립하지 않는다. 제곱은 "양수를 곱하는 것"과 다르며, 부호가 섞이면 크기 순서가 뒤바뀔 수 있다.
잘못된 생각: 부등식 $x^2 > x$의 양변을 $x$로 나누어 $x > 1$이라고 정리한다. → 왜 틀렸는지: $x$의 부호를 모르는 채로 나누면 $x<0$일 때 부등호가 뒤집혀야 하는데 이를 놓친다. 실제로 $x=-1$은 $x^2=1>-1=x$를 만족하는 해이지만 $x>1$에는 포함되지 않는다. 미지수로 양변을 나누기 전에는 반드시 부호를 나누어 경우를 살피거나, 이항하여 $x(x-1)>0$ 형태로 바꿔 풀어야 한다.

확인 문제

부등식 $-4x + 3 \le 11$의 해를 구하시오.
$a, b$가 실수이고 $a > b$일 때, 다음 중 항상 참인 것을 고르시오: (가) $a - 5 > b - 5$ (나) $-2a > -2b$ (다) $a^2 > b^2$
부등식 $3(x-1) > x + 5$를 푸시오.

정답 보기

$-4x \le 8$, 양변을 음수 $-4$로 나누므로 방향이 바뀌어 $x \ge -2$.
(가). (나)는 음수 $-2$를 곱했으므로 방향이 바뀌어 $-2a < -2b$가 참이고, (다)는 $a,b$의 부호에 따라 성립하지 않을 수 있다(예: $a=1, b=-2$).
$3x - 3 > x + 5 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4$.

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