부등식(不等式)은 두 수나 두 식의 대소 관계를 부등호 $>, <, \ge, \le$를 사용하여 나타낸 식이다. 예를 들어 $x - 3 > 5$는 "$x-3$은 $5$보다 크다"는 뜻의 부등식이다.
부등식에 포함된 미지수에 특정한 값을 대입했을 때 부등식이 참이 되게 하는 값을 그 부등식의 해라 하고, 해 전체의 집합을 해집합이라 한다. 부등식을 만족하는 모든 해를 구하는 과정을 부등식을 푼다고 한다.
방정식이 저울의 양쪽이 정확히 균형을 이루는 상황이라면, 부등식은 저울의 한쪽이 다른 쪽보다 무겁게 기울어 있는 상황이다. 방정식의 해는 보통 하나(또는 몇 개)의 점으로 정해지지만, 부등식의 해는 대개 수직선 위의 구간, 즉 무수히 많은 값의 모임이 된다는 점이 가장 큰 차이다. 이 때문에 부등식을 다룰 때는 "등호가 있는 상태를 유지하며 변형하는 것"뿐 아니라 "부등호의 방향이 언제 바뀌는가"를 정확히 통제하는 것이 핵심 기술이 된다.
전 학년에서 방정식을 풀 때는 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 같은 수를 곱하거나 나누어도 등호는 그대로 유지된다는 것을 배웠다. 부등식도 등식처럼 대소 관계를 나타내는 식이므로, 같은 방식으로 다뤄도 되는지 확인해 보자.
먼저 참인 부등식 $4 < 7$에서 시작한다. 양변에 $2$를 더하면 $6 < 9$로 여전히 참이고, 양변에서 $2$를 빼도 $2 < 5$로 참이다. 양변에 양수 $2$를 곱하면 $8 < 14$로 참이며, 양수 $2$로 나누어도 $2 < 3.5$로 참이다. 즉 더하기·빼기·양수 곱하기·양수 나누기는 부등호 방향을 바꾸지 않는다.
그런데 같은 부등식 $4<7$의 양변에 $-1$을 곱하면 $-4$와 $-7$을 비교해야 하는데, 수직선 위에서 $-4$는 $-7$보다 오른쪽에 있으므로 $-4 > -7$이다. 즉 $4<7$이었지만 곱한 뒤에는 $-4>-7$로 부등호 방향이 뒤집힌다. 이는 우연이 아니다 — 음수를 곱하는 것은 수직선에서 원점을 기준으로 두 수를 반대쪽으로 뒤집는 것과 같아서, 오른쪽에 있던 큰 수는 뒤집힌 뒤 왼쪽(작은 쪽)으로, 왼쪽에 있던 작은 수는 오른쪽(큰 쪽)으로 이동하기 때문이다.
이 사실을 일반적으로 확인하면, $a>b$ 즉 $a-b>0$일 때 임의의 음수 $c$($c<0$)를 곱한 $ac$와 $bc$를 비교해 보자. $ac - bc = c(a-b)$인데, $a-b>0$이고 $c<0$이므로 두 수의 곱 $c(a-b)$는 음수, 즉 $ac-bc<0$이다. 따라서 $ac<bc$가 되어 부등호 방향이 반대로 바뀐다. 나누는 것은 그 수의 역수를 곱하는 것과 같고 역수의 부호는 원래 수의 부호와 같으므로, 음수로 나눌 때도 같은 결론이 성립한다. 이렇게 해서 "성질" 절에 나온 규칙 — 양수를 곱하거나 나누면 방향 유지, 음수를 곱하거나 나누면 방향 반전 — 이 왜 성립하는지가 설명된다.
$a, b, c$가 실수일 때 다음이 성립한다.
예시 1. $2x + 1 > 5$를 풀면, 양변에서 $1$을 빼서 $2x > 4$, 양변을 양수 $2$로 나누어 $x > 2$. 해집합은 $\{x \mid x > 2\}$이다.
예시 2. $-3x + 2 < 11$을 풀면, $-3x < 9$이고 여기서 음수 $-3$으로 양변을 나누므로 부등호 방향이 바뀌어 $x > -3$이다.
위 그래프에서 직선 $y = 2x+1$이 수평선 $y=5$보다 위쪽에 있는 $x$의 범위(즉 $x>2$)가 예시 1의 해집합에 대응한다.
엘리베이터에는 "정원 15명, 적재중량 1000kg 이하"처럼 안전을 위한 무게 제한이 붙어 있다. 지금 타고 있는 사람들의 몸무게 합을 $w$ kg이라 하면, 안전하게 탈 수 있는 조건은 등식이 아니라 부등식 $w \le 1000$으로 나타난다. 몸무게 합이 정확히 $1000$이 아니어도, 그보다 작기만 하면 모두 안전한 상태이기 때문이다. 여기에 몸무게 $70$kg인 사람이 한 명 더 타려면 $w + 70 \le 1000$, 즉 $w \le 930$이어야 한다는 것도 부등식을 이용해 계산할 수 있다.
옛날에는 두 수의 크기를 비교할 때도 "~보다 크다", "~보다 작다"를 전부 말로 풀어 써야 해서 식이 길고 계산 과정을 한눈에 보기 어려웠다. 영국의 수학자 토머스 해리엇(Thomas Harriot)은 1631년에 출간된 유고 저작에서 지금과 같은 모양의 부등호 $>$와 $<$를 처음 사용해, 대소 관계를 말이 아닌 기호로 짧게 표현할 수 있게 했다. 이후 등호를 포함하는 관계, 즉 "크거나 같다"를 나타낼 기호가 필요해졌고, 프랑스의 수학자 피에르 부게(Pierre Bouguer)가 1734년에 부등호 아래에 선을 하나 그은 $\ge, \le$ 형태를 제안했다. 이 표기들이 이후 여러 수학자들의 저작을 거치며 굳어져 오늘날 교과서에서 쓰는 부등호 체계가 되었다.