$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$($x$가 $a$로 갈 때 $f(x)$의 극한이라 읽는다)가 존재한다. 즉 좌극한 $f(a^-)$와 우극한 $f(a^+)$가 같아야 한다.
$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$이다.
세 조건 중 하나라도 성립하지 않으면 $f(x)$는 $x=a$에서 불연속(discontinuous)이라고 한다. 함수 $f(x)$가 어떤 구간에 속하는 모든 점에서 연속일 때, "$f(x)$는 그 구간에서 연속이다"라고 말한다.
직관
연속이라는 말은 그래프를 그릴 때 "펜을 종이에서 떼지 않고 그릴 수 있다"는 것과 비슷하다. 어떤 점 근처에서 $x$값을 아주 조금씩 바꾸었을 때 $f(x)$값도 아주 조금씩만 바뀐다면 연속이고, $x$가 살짝만 바뀌었는데 $f(x)$가 갑자기 뚝 떨어지거나 튀어 오르면 그 점에서 불연속이다. 정의의 세 조건은 각각 "그 점에 그래프가 실제로 찍혀 있는가(①)", "그 점 주변에서 그래프가 한 값으로 모이는가(②)", "모이는 값과 실제로 찍힌 점이 일치하는가(③)"를 확인하는 절차다.
성질
두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 $x=a$에서 모두 연속이면 $f(x)+g(x)$, $f(x)-g(x)$, $f(x)g(x)$도 $x=a$에서 연속이고, $g(a)\neq 0$이면 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$도 $x=a$에서 연속이다.
닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖고, $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 적어도 한 번은 취한다(사이값 정리).
예시
예1. $f(x)=x^2-3$이 $x=2$에서 연속인지 확인하자. $f(2)=1$이고 $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=4-3=1$이므로 극한값과 함숫값이 같다. 따라서 $x=2$에서 연속이다.
예2. $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ($x\neq 2$에서 정의)는 $x=2$에서 정의되어 있지 않으므로 조건 ①에 어긋나 $x=2$에서 불연속이다. 다만 $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to2}(x+2)=4$로 극한값 자체는 존재한다. 이런 경우를 제거 가능한 불연속(구멍)이라 부른다.
예3. $g(x)=\begin{cases}x+1 & (x\neq 1)\\ 3 & (x=1)\end{cases}$은 $g(1)=3$으로 정의되어 있지만 $\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=2$이므로 극한값과 함숫값이 달라 $x=1$에서 불연속이다.
아래 그래프는 모든 점에서 연속인 $x+1$과, $x=2$에서 정의되지 않아 불연속인 $\dfrac{1}{x-2}$를 함께 보여준다.
🌍 실생활 예시
택배 요금이나 주차 요금처럼 무게·시간 구간마다 값이 정해지는 요금 체계는 실제로는 불연속함수다. 예를 들어 주차 요금이 "30분까지 1000원, 30분 초과 1시간까지 2000원"처럼 정해지면, 30분이 되는 순간 요금이 1000원에서 2000원으로 뚝 뛰어오르므로 그 시점에서 함수는 불연속이다. 반대로 자동차의 이동 거리를 시간의 함수로 나타내면, 순간적으로 위치가 사라졌다가 다른 곳에 나타나는 일은 없으므로 이 함수는 항상 연속이다. 물리적으로 끊김 없이 변하는 양(위치, 온도, 속도 등)은 연속함수로, 계단식으로 정해지는 제도적인 값(요금, 등급)은 불연속함수로 모델링되는 경우가 많다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$을 약분해서 $f(x)=x+1$로 바꾼 뒤 "모든 실수에서 연속"이라고 판단한다.
왜 틀렸는지: 약분은 $x\neq1$일 때만 성립하는 계산일 뿐, 원래 함수는 $x=1$에서 정의되지 않는다. 정의역에 없는 점에서는 조건 ①이 무너지므로 $x=1$에서 불연속이다.
잘못된 생각: 좌극한만 계산해 놓고 그 값이 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$라고 단정한다.
왜 틀렸는지: 극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 반드시 같아야 한다. 예를 들어 $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$는 $x=0$에서 좌극한이 $-1$, 우극한이 $1$로 서로 달라 극한 자체가 존재하지 않는다.
잘못된 생각: $f(a)$의 값이 정의되어 있으면(구멍이 아니면) 당연히 연속이라고 생각한다.
왜 틀렸는지: 함숫값이 정의되어 있어도 극한값과 다르면(예2의 $g(x)$처럼) 조건 ③이 깨져 불연속이 된다. 정의 여부, 극한의 존재, 두 값의 일치는 서로 별개로 확인해야 한다.
확인 문제
$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ ($x\neq2$), $f(2)=k$로 정의된 함수가 $x=2$에서 연속이 되도록 하는 $k$의 값을 구하고, 왜 그 값이어야 하는지 설명하라.
$f(x)=x^2+1$이 $x=3$에서 연속인지 정의의 세 조건을 이용해 확인하라.
$f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ ($x\neq0$), $f(0)=k$로 정의할 때, $k$를 어떤 값으로 정해도 $x=0$에서 연속이 될 수 없는 이유를 설명하라.
정답 보기
$\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$이므로 $k=4$여야 한다. 연속이 되려면 "약분해서 얻은 극한값"과 "정의로 지정한 $f(2)$"가 같아야 하기 때문이다.
$x<0$일 때 $f(x)=-1$이므로 좌극한은 $-1$, $x>0$일 때 $f(x)=1$이므로 우극한은 $1$이다. 좌극한과 우극한이 다르므로 $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ 자체가 존재하지 않는다. 극한이 존재하지 않으면 $k$를 무엇으로 정해도 조건 ②를 만족할 수 없으므로 연속으로 만들 수 없다.