집합(set)은 명확한 기준에 의해 대상이 그 안에 속하는지 아닌지를 판별할 수 있는 것들의 모임이다. 집합을 이루는 각 대상을 원소(element)라 하고, $a$가 집합 $A$의 원소일 때 $a \in A$로 나타낸다.
"모임"이면 무엇이든 집합이 되는 게 아니라, 소속 여부가 애매하지 않아야 한다는 점이 핵심이다. "1보다 큰 자연수의 모임"은 집합이지만 "큰 수의 모임"은 집합이 아니다 — 어떤 수가 "크다"의 기준이 없기 때문이다. 수학의 거의 모든 대상(함수, 확률, 도형 등)이 집합의 언어 위에서 정의되므로, 집합은 현대 수학의 공용 문법이라 할 수 있다.
집합에서 정작 학생들이 자주 실수하는 건 정의 자체보다 기호와 관계를 뒤섞는 것이다. 대표적으로 $\in$과 $\subset$의 혼동이 있다. $\in$은 "원소가 집합에 속한다"는 관계이고($3 \in \{1,2,3\}$), $\subset$은 "집합이 다른 집합에 통째로 들어간다"는 관계다($\{3\} \subset \{1,2,3\}$). 하나는 낱개 원소와 집합 사이, 다른 하나는 집합과 집합 사이의 이야기라 다루는 대상이 다르다.
또 하나 낯선 점은 집합이 원소의 중복과 순서를 따지지 않는다는 것이다. $\{1,2,2,3\}$은 그냥 $\{1,2,3\}$과 같은 집합이고, $\{1,2,3\}$과 $\{3,2,1\}$도 같은 집합이다. 집합은 "누가 들어 있느냐"만 볼 뿐 몇 번 적었는지나 적은 차례는 신경 쓰지 않기 때문이다. 이 점은 순서를 따지는 순열이나 순서쌍 $(x,y)$와 헷갈리기 쉬우니 구분해 두자.
공집합도 처음엔 어색하다. 원소가 하나도 없는 집합인데, 이것도 어엿한 집합이고 모든 집합의 부분집합으로 친다. "아무것도 안 담긴 상자도 상자"라고 생각하면 받아들이기 쉽다.
$A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 3, 4\}$일 때:
$$A \cup B = \{1,2,3,4\}, \quad A \cap B = \{2,3\}, \quad A - B = \{1\}$$
원소의 개수는 다음을 만족한다 (포함–배제의 원리의 가장 단순한 형태):
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$