이차부등식
대수
고등 · v1
· 🤖 LLM 버전
정의
이차부등식이란 우변을 $0$으로 이항하여 정리했을 때
$$ax^2+bx+c>0,\quad ax^2+bx+c\geq0,\quad ax^2+bx+c<0,\quad ax^2+bx+c\leq0$$
($a, b, c$는 실수, $a\neq0$) 가운데 하나의 꼴로 나타낼 수 있는 부등식을 말한다. 이차방정식이 "언제 $0$이 되는가"를 묻는다면, 이차부등식은 "언제 $0$보다 큰가(또는 작은가)"를 묻는 문제다.
직관
이차부등식을 가장 쉽게 이해하는 방법은 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프를 그려 보는 것이다. $ax^2+bx+c>0$의 해는 그래프가 $x$축보다 위쪽에 있는 구간의 $x$값들이고, $ax^2+bx+c<0$의 해는 그래프가 $x$축보다 아래쪽에 있는 구간의 $x$값들이다. 즉 이차부등식을 푼다는 것은 포물선과 $x$축의 위치 관계를 $x$값의 범위로 읽어내는 일이다.
풀이 원리
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 판별식 $D=b^2-4ac$ 값에 따라 그래프와 $x$축의 관계가 달라진다. $a>0$인 경우를 기준으로 정리하면 다음과 같다.
- $D>0$: 서로 다른 두 실근 $\alpha<\beta$를 가진다. $ax^2+bx+c>0$의 해는 $x<\alpha$ 또는 $x>\beta$, $ax^2+bx+c<0$의 해는 $\alpha<x<\beta$.
- $D=0$: 중근 $\alpha$를 가진다(그래프가 $x$축에 접함). $ax^2+bx+c\geq0$($\geq$는 "크거나 같다"라고 읽는다)의 해는 모든 실수, $ax^2+bx+c\leq0$의 해는 $x=\alpha$뿐, $ax^2+bx+c>0$의 해는 $x\neq\alpha$인 모든 실수, $ax^2+bx+c<0$의 해는 없다.
- $D<0$: 실근이 없다(그래프가 $x$축과 만나지 않음). 이때 $ax^2+bx+c>0$의 해는 모든 실수, $ax^2+bx+c<0$의 해는 없다.
$a<0$인 경우에는 양변에 $-1$을 곱해 $a>0$ 꼴로 바꾸고 위의 결과를 적용하면 된다. 이때 부등호의 방향이 반드시 바뀐다.
예시
예시 1. $x^2-5x+6>0$을 인수분해하면 $(x-2)(x-3)>0$. 두 인수의 곱이 양수이려면 둘 다 양수이거나($x>3$) 둘 다 음수여야($x<2$) 하므로 해는 $x<2$ 또는 $x>3$이다.
예시 2. $x^2-4x+4\leq0$은 $(x-2)^2\leq0$. 제곱은 항상 $0$ 이상이므로 이 부등식이 성립하는 경우는 $(x-2)^2=0$, 즉 $x=2$뿐이다.
예시 3. $x^2+x+1>0$에서 $D=1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$이고 $a=1>0$이므로, 이 이차식은 모든 실수 $x$에 대해 항상 양수다. 따라서 해는 모든 실수다.
위 그래프에서 곡선이 $x$축 아래(즉 $y<0$)에 있는 구간이 바로 $x^2-5x+6<0$의 해, $x$축 위에 있는 구간이 $x^2-5x+6>0$의 해에 해당한다.
⚠️ 흔한 실수
- 이차항 계수가 음수일 때 부등호를 그대로 두는 실수: $-x^2+x+2>0$을 풀 때 양변에 $-1$을 곱해 $x^2-x-2<0$으로 바꿔야 하는데, 부등호 방향을 바꾸지 않고 그대로 $x^2-x-2>0$으로 풀어버리면 해가 정반대로 나온다. 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반드시 뒤집힌다.
- $D<0$이면 무조건 "해가 없다"고 단정하는 실수: $D<0$은 이차방정식이 실근을 갖지 않는다는 뜻일 뿐, 이차부등식의 해가 없다는 뜻은 아니다. $a>0, D<0$이면 $ax^2+bx+c>0$의 해는 오히려 모든 실수이고, $ax^2+bx+c<0$일 때만 해가 없다. 부등호 방향과 $a$의 부호를 함께 봐야 한다.
- $(x-\alpha)(x-\beta)>0$을 풀 때 한 경우만 고려하는 실수: 두 인수의 곱이 양수라는 조건에서 "$x>\alpha$이고 $x>\beta$"인 경우만 떠올리고, "$x<\alpha$이고 $x<\beta$"인 경우를 빠뜨려 해의 절반을 놓친다.
확인 문제
- $x^2-x-6<0$의 해를 구하여라.
- $x^2-6x+9\geq0$의 해를 구하여라.
- $2x^2-x+3>0$의 해를 구하여라. (단, 이 이차식의 판별식을 먼저 확인할 것)
정답 보기
- $(x-3)(x+2)<0$이므로 두 인수의 부호가 서로 달라야 한다. 해는 $-2<x<3$.
- $(x-3)^2\geq0$은 제곱이므로 항상 성립한다. 해는 모든 실수.
- $D=(-1)^2-4\cdot2\cdot3=1-24=-23<0$이고 $a=2>0$이므로 이 이차식은 항상 양수다. 해는 모든 실수.
관련 개념
- 이차방정식 — 이차부등식의 경계가 되는 근을 구하는 도구
- 판별식 — 근의 개수와 부등식 해의 형태를 결정
- 인수분해 — 부등식을 곱 꼴로 바꿔 부호를 판단하는 핵심 기법
- 이차함수 — 그래프로 부등식의 해를 시각적으로 이해하는 바탕
- 일차부등식 — 더 단순한 형태의 부등식으로, 이차부등식 풀이의 기초
- 부등식의 영역 — 이차부등식을 좌표평면 위의 영역으로 확장한 개념