이차방정식이란 등식을 정리했을 때 $ax^2+bx+c=0$ 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 말한다. 여기서 $x$는 구해야 할 미지수이고, $a$, $b$, $c$는 정해진 수(상수)이며, 특히 $a \neq 0$이어야 한다($a=0$이면 $x^2$항이 사라져 일차방정식이 되기 때문이다). 이 방정식을 참으로 만드는 $x$의 값을 이차방정식의 근(또는 해)이라 하고, 이차방정식은 일반적으로 근을 최대 2개 갖는다.
일차방정식이 "한 걸음짜리" 문제였다면, 이차방정식은 $x$가 두 번 곱해지는(제곱되는) 상황을 다룬다. 예를 들어 가로가 $x$, 세로가 $x+3$인 직사각형의 넓이가 $40$이 되도록 하는 $x$를 찾는 문제는 $x(x+3)=40$, 즉 $x^2+3x-40=0$이라는 이차방정식이 된다. 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프(포물선)를 생각하면, 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근은 이 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표와 같다. 즉 이차방정식 풀기는 "포물선이 어디서 땅에 닿는지 찾기"와 같은 그림으로 이해할 수 있다.
1) 인수분해를 이용한 풀이: 좌변을 $(x-p)(x-q)=0$ 꼴로 인수분해할 수 있으면, 두 수를 곱해 $0$이 되려면 둘 중 하나는 반드시 $0$이어야 하므로 $x=p$ 또는 $x=q$가 근이 된다.
2) 근의 공식: 인수분해가 어려운 경우, 모든 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근은 다음 공식으로 구할 수 있다.
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
여기서 $\pm$(플러스마이너스)는 두 근이 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$와 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$로 나뉜다는 뜻이다. 근호 안의 $b^2-4ac$ 값에 따라 근의 개수(2개, 1개, 0개)가 달라지는데, 이 값을 판별식이라 부른다.
예시 1 (인수분해): $x^2-5x+6=0$은 곱이 $6$, 합이 $-5$인 두 수 $-2$, $-3$을 찾으면 $(x-2)(x-3)=0$으로 인수분해되어 근은 $x=2$ 또는 $x=3$이다.
예시 2 (근의 공식): $x^2+2x-1=0$은 $a=1$, $b=2$, $c=-1$이므로
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$$
아래 그래프는 $y=x^2-5x+6$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점이 바로 예시 1의 근 $x=2$, $x=3$임을 보여준다.