이차방정식

🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 일차방정식 · 인수분해 · 제곱근과 무리수

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정의

이차방정식이란 등식을 정리했을 때 $ax^2+bx+c=0$ 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 말한다. 여기서 $x$는 구해야 할 미지수이고, $a$, $b$, $c$는 정해진 수(상수)이며, 특히 $a \neq 0$이어야 한다($a=0$이면 $x^2$항이 사라져 일차방정식이 되기 때문이다). 이 방정식을 참으로 만드는 $x$의 값을 이차방정식의 근(또는 해)이라 하고, 이차방정식은 일반적으로 근을 최대 2개 갖는다.

직관

일차방정식이 "한 걸음짜리" 문제였다면, 이차방정식은 $x$가 두 번 곱해지는(제곱되는) 상황을 다룬다. 예를 들어 가로가 $x$, 세로가 $x+3$인 직사각형의 넓이가 $40$이 되도록 하는 $x$를 찾는 문제는 $x(x+3)=40$, 즉 $x^2+3x-40=0$이라는 이차방정식이 된다. 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프(포물선)를 생각하면, 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근은 이 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표와 같다. 즉 이차방정식 풀기는 "포물선이 어디서 땅에 닿는지 찾기"와 같은 그림으로 이해할 수 있다.

유도

인수분해가 깔끔하게 되는 이차방정식은 쉽게 풀린다. 하지만 $x^2+2x-1=0$처럼 정수 범위에서 인수분해되지 않는 방정식은 어떻게 풀어야 할까? 이때 쓰는 도구가 완전제곱식 만들기다. 이미 알고 있는 $(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$ 꼴을 거꾸로 이용해, 좌변을 억지로 완전제곱식으로 바꾸는 것이다.

먼저 $a=1$인 경우, $x^2+bx+c=0$을 살펴보자. 상수항을 우변으로 넘기면

$$x^2+bx=-c$$

좌변이 $(x+\square)^2$ 꼴이 되려면 $x$의 계수 $b$의 절반을 제곱한 $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$을 양변에 더하면 된다.

$$x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=-c+\left(\frac{b}{2}\right)^2$$

$$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2-4c}{4}$$

이제 양변에 제곱근을 씌우면

$$x+\frac{b}{2}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4c}}{2} \;\Rightarrow\; x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$$

$a\neq1$인 일반적인 경우 $ax^2+bx+c=0$도 같은 방법을 쓸 수 있다. 먼저 양변을 $a$로 나누어 $x^2$의 계수를 $1$로 만든다.

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \;\Rightarrow\; x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

이번엔 $x$의 계수 $\dfrac{b}{a}$의 절반을 제곱한 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$을 양변에 더한다.

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

양변에 제곱근을 씌우고 정리하면

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \;\Rightarrow\; x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

이렇게 어떤 이차방정식에도 통하는 근의 공식이 완전제곱식을 만드는 과정에서 자연스럽게 나온다. 즉 근의 공식은 새로운 규칙이 아니라, 인수분해가 안 될 때도 완전제곱식 만들기를 매번 반복하지 않도록 그 계산을 미리 끝내 둔 결과물이다.

풀이 방법

1) 인수분해를 이용한 풀이: 좌변을 $(x-p)(x-q)=0$ 꼴로 인수분해할 수 있으면, 두 수를 곱해 $0$이 되려면 둘 중 하나는 반드시 $0$이어야 하므로 $x=p$ 또는 $x=q$가 근이 된다.

2) 근의 공식: 인수분해가 어려운 경우, 모든 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근은 다음 공식으로 구할 수 있다.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

여기서 $\pm$(플러스마이너스)는 두 근이 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$와 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$로 나뉜다는 뜻이다. 근호 안의 $b^2-4ac$ 값에 따라 근의 개수(2개, 1개, 0개)가 달라지는데, 이 값을 판별식이라 부른다.

예시

예시 1 (인수분해): $x^2-5x+6=0$은 곱이 $6$, 합이 $-5$인 두 수 $-2$, $-3$을 찾으면 $(x-2)(x-3)=0$으로 인수분해되어 근은 $x=2$ 또는 $x=3$이다.

예시 2 (근의 공식): $x^2+2x-1=0$은 $a=1$, $b=2$, $c=-1$이므로

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$$

아래 그래프는 $y=x^2-5x+6$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점이 바로 예시 1의 근 $x=2$, $x=3$임을 보여준다.

🌍 실생활 예시

공을 위로 던지거나 찼을 때 시간 $t$에 따른 높이 $h$는 $h(t)=-5t^2+v_0t+h_0$ 꼴의 식으로 나타낼 수 있다(중력 때문에 $t^2$ 항이 붙는다). 예를 들어 지면 높이 $1\text{m}$에서 초속 $20\text{m}$로 공을 던져 올렸다면 $h(t)=-5t^2+20t+1$이고, 공이 땅에 떨어지는 순간은 $h(t)=0$이 되는 때이므로 $-5t^2+20t+1=0$이라는 이차방정식을 풀어야 한다. 이처럼 물체가 특정 높이(예: 바닥, $0$)에 도달하는 시각을 구하는 문제는 이차방정식의 근을 구하는 문제로 바뀌며, 스포츠 과학이나 물리 시뮬레이션에서 실제로 쓰인다.

⚠️ 흔한 실수

잘못된 생각: $x^2=9$이므로 $x=3$이다. → 왜 틀렸는가: 제곱해서 $9$가 되는 수는 $3$뿐 아니라 $-3$도 있다($(-3)^2=9$). 올바른 답은 $x=3$ 또는 $x=-3$이며, $x=\pm 3$으로 써야 한다.
잘못된 생각: 근의 공식에서 분자의 $-b\pm\sqrt{b^2-4ac}$만 계산하고 $2a$로 나누는 것을 잊는다. → 왜 틀렸는가: 근의 공식 전체가 하나의 분수식이므로 분모 $2a$까지 나누어야 정확한 근이 나온다.
잘못된 생각: $x^2+3x=0$을 풀 때 양변을 $x$로 나누어 $x+3=0$, 즉 $x=-3$만 답이라고 한다. → 왜 틀렸는가: 방정식을 미지수 $x$로 나누면 $x=0$인 경우의 근을 잃어버린다. 대신 $x(x+3)=0$으로 인수분해하면 $x=0$ 또는 $x=-3$, 두 근을 모두 얻는다.

확인 문제

이차방정식 $x^2-7x+10=0$을 인수분해를 이용해 풀어라.
이차방정식 $2x^2+3x-1=0$의 근을 근의 공식을 이용해 구하여라.
$x^2-4=0$의 근을 모두 구하여라.

정답 보기

곱이 $10$, 합이 $-7$인 두 수는 $-2$, $-5$이므로 $(x-2)(x-5)=0$, 근은 $x=2$ 또는 $x=5$.
$a=2$, $b=3$, $c=-1$을 근의 공식에 대입하면 $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+8}}{4}=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$.
$x^2=4$이므로 $x=2$ 또는 $x=-2$ (제곱해서 $4$가 되는 두 수를 모두 찾아야 한다).

📜 역사

이차방정식과 같은 형태의 문제는 기원전 2000년경 고대 바빌로니아의 점토판에서부터 나타난다. 당시 사람들은 땅의 넓이를 나누거나 곡물 창고의 크기를 정하는 문제를 풀기 위해, 지금과 같은 기호는 없었지만 완전제곱식을 만드는 것과 같은 절차를 거쳐 답을 구했다. 이후 9세기에 페르시아의 수학자 알콰리즈미가 저서 《알자브르》에서 이차방정식을 유형별로 나누고 완전제곱식을 이용한 풀이법을 체계적으로 정리했으며, 이 책 제목에서 오늘날 대수학을 뜻하는 영어 단어 algebra가 유래했다. 지금 쓰는 것과 같은 $x$, $\pm$, 근호 같은 기호는 그보다 훨씬 뒤인 16~17세기 유럽에서 자리 잡았다.