제곱근과 무리수

정의

$0$ 이상인 어떤 수 $a$에 대하여, 제곱하여 $a$가 되는 수, 즉 $x^2=a$를 만족시키는 $x$를 $a$의 제곱근이라 한다.

$a>0$이면 제곱근은 부호만 다른 두 개가 존재한다: 양의 제곱근 $\sqrt{a}$($\sqrt{\ }$는 근호라 하며, "루트 $a$"라고 읽는다)와 음의 제곱근 $-\sqrt{a}$
$a=0$이면 제곱근은 $0$ 하나뿐이다
$a<0$이면 (중학교에서 다루는 실수 범위 안에서는) 제곱근이 존재하지 않는다

무리수는 분수로, 즉 두 정수 $m$, $n$($n\neq0$)의 비 $\dfrac{m}{n}$ 꼴로 나타낼 수 없는 수를 말한다. 소수로 쓰면 순환하지 않는 무한소수가 된다. 유리수와 무리수를 합친 수 전체를 실수라고 부른다.

직관

정사각형의 넓이가 $2$일 때 한 변의 길이는 얼마일까? $1\times1=1$이고 $2\times2=4$이므로 한 변의 길이는 $1$과 $2$ 사이의 어떤 수인데, 아무리 소수 자리를 늘려도 딱 떨어지는 분수로는 표현되지 않는다. 이 수가 바로 $\sqrt2$다. 즉 제곱근은 "제곱해서 원래 수가 되돌아오는 수를 거꾸로 찾는 것"이고, 그 답 중에는 유리수(분수)로 딱 떨어지지 않는 무리수가 섞여 있다는 사실이 이 단원의 핵심이다.

성질

$(\sqrt a)^2=a$, $(-\sqrt a)^2=a$ ($a\ge0$)
$\sqrt{a^2}=|a|$ ($|a|$는 "절댓값 $a$"라고 읽는다). 근호 안의 식은 제곱이라 항상 $0$ 이상이 되어야 하므로, $a$가 음수라면 부호를 바꿔 양수로 맞춰 준다.
$a,b>0$일 때 $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$, $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

예시

$16$의 제곱근: $x^2=16$을 만족하는 $x$는 $4$와 $-4$ 두 개다.
$\sqrt{16}=4$: 이때는 양의 제곱근 하나만을 뜻한다.
$\sqrt2 = 1.41421356\ldots$는 소수점 아래가 순환하지 않으므로 무리수다.
$\sqrt4=2$는 근호가 붙어 있지만 정수, 즉 유리수다. 근호가 있다고 해서 다 무리수인 것은 아니다.

⚠️ 흔한 실수

잘못된 생각: $\sqrt{a^2}=a$이다. 왜 틀렸는지: $a=-3$이면 $\sqrt{a^2}=\sqrt9=3$이지 $-3$이 아니다. 근호 안에서 나온 값은 항상 $0$ 이상이어야 하므로 정답은 $\sqrt{a^2}=|a|$다.
잘못된 생각: "$4$의 제곱근을 구하라"는 문제에 $\sqrt4=2$만 답한다. 왜 틀렸는지: "$a$의 제곱근"은 $x^2=a$의 해 전체를 뜻하므로 양의 제곱근과 음의 제곱근을 모두 써야 한다. $4$의 제곱근은 $2$와 $-2$ 둘 다이며, $\sqrt4$는 그중 양의 제곱근만 가리키는 표기다.
잘못된 생각: 근호가 붙어 있으면 무조건 무리수다. 왜 틀렸는지: $\sqrt9=3$, $\sqrt{100}=10$처럼 근호 안의 수가 어떤 정수의 제곱이면 근호가 사라지고 유리수가 된다. 근호 안의 수가 제곱수가 아닐 때만 무리수가 된다.

확인 문제

$49$의 제곱근을 모두 구하시오.
다음 중 무리수를 모두 고르시오: $\sqrt9,\ \sqrt3,\ 0.333\ldots,\ \sqrt2$
$\sqrt{(-7)^2}$의 값을 구하시오.

정답 보기

$x^2=49$이므로 $x=7$ 또는 $x=-7$. 즉 $49$의 제곱근은 $7$과 $-7$.
$\sqrt9=3$은 유리수, $0.333\ldots=\dfrac13$도 순환소수이므로 유리수. 무리수는 $\sqrt3$과 $\sqrt2$.
$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=|-7|=7$.

제곱근과 무리수

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