평면 위에 수직으로 만나는 두 수직선($x$축, $y$축)을 놓으면, 평면의 모든 점을 실수의 순서쌍 $(x, y)$로 나타낼 수 있다. 이 체계가 좌표평면이고, 순서쌍을 점의 좌표라 한다.
좌표는 기하와 대수를 잇는 다리다. "점"이라는 기하적 대상이 "수의 쌍"이 되는 순간, 도형 문제를 계산으로 풀 수 있게 된다(해석기하). 거리·중점·기울기 같은 도형의 성질이 전부 공식이 되고, 거꾸로 방정식의 해를 그림으로 볼 수도 있게 된다. 함수의 그래프라는 개념 자체가 좌표평면 위에서만 성립한다.
평면좌표에서 사소해 보이지만 놓치기 쉬운 건 **순서쌍의 "순서"**다. $(2,3)$과 $(3,2)$는 전혀 다른 점이다. 앞자리는 항상 가로($x$), 뒷자리는 항상 세로($y$)로 약속했기 때문에, 두 수를 바꿔 쓰면 완전히 다른 위치를 가리킨다. 좌표를 "두 수를 적어 둔 것"으로만 보면 이 순서의 의미가 흐려지니, 늘 "가로로 얼마, 세로로 얼마"로 읽는 습관을 들이자.
또 거리·중점·내분점 공식을 통째로 외우려다 자주 헷갈리는데, 사실 이들은 새 공식이 아니라 아는 것을 좌표로 옮긴 것이다. 두 점 사이 거리는 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이라, 그냥 피타고라스 정리다. 중점은 두 좌표의 평균일 뿐이다. 공식을 외우기 전에 이 그림을 먼저 떠올리면, 부호나 순서를 헷갈려도 스스로 바로잡을 수 있다.
좌표를 읽을 때 부호도 눈여겨보자. 두 축이 평면을 넷으로 나누는데(사분면), 오른쪽·위가 양수 쪽이다. 점 $(-2, 3)$처럼 부호가 섞이면 "왼쪽으로 $2$, 위로 $3$"으로 방향까지 함께 읽어야 위치를 정확히 짚을 수 있다.
두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$에 대해:
$A(1, 2)$, $B(4, 6)$의 거리는 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, 중점은 $\left(\frac{5}{2}, 4\right)$, $AB$를 $2:1$로 내분하는 점은 $\left(\frac{2\cdot4+1\cdot1}{3}, \frac{2\cdot6+1\cdot2}{3}\right) = (3, \frac{14}{3})$.