# 평면좌표 분야: 기하 학교급: 중등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%ED%8F%89%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C --- ## 정의 평면 위에 수직으로 만나는 두 수직선($x$축, $y$축)을 놓으면, 평면의 모든 점을 실수의 순서쌍 $(x, y)$로 나타낼 수 있다. 이 체계가 **좌표평면**이고, 순서쌍을 점의 **좌표**라 한다. ## 직관 좌표는 **기하와 대수를 잇는 다리**다. "점"이라는 기하적 대상이 "수의 쌍"이 되는 순간, 도형 문제를 계산으로 풀 수 있게 된다(해석기하). 거리·중점·기울기 같은 도형의 성질이 전부 공식이 되고, 거꾸로 방정식의 해를 그림으로 볼 수도 있게 된다. 함수의 그래프라는 개념 자체가 좌표평면 위에서만 성립한다. ## 🧑‍🏫 쉬운 설명 평면좌표에서 사소해 보이지만 놓치기 쉬운 건 **순서쌍의 "순서"**다. $(2,3)$과 $(3,2)$는 전혀 다른 점이다. 앞자리는 항상 가로($x$), 뒷자리는 항상 세로($y$)로 약속했기 때문에, 두 수를 바꿔 쓰면 완전히 다른 위치를 가리킨다. 좌표를 "두 수를 적어 둔 것"으로만 보면 이 순서의 의미가 흐려지니, 늘 "가로로 얼마, 세로로 얼마"로 읽는 습관을 들이자. 또 거리·중점·내분점 공식을 통째로 외우려다 자주 헷갈리는데, 사실 이들은 새 공식이 아니라 아는 것을 좌표로 옮긴 것이다. 두 점 사이 거리는 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이라, 그냥 피타고라스 정리다. 중점은 두 좌표의 평균일 뿐이다. 공식을 외우기 전에 이 그림을 먼저 떠올리면, 부호나 순서를 헷갈려도 스스로 바로잡을 수 있다. 좌표를 읽을 때 부호도 눈여겨보자. 두 축이 평면을 넷으로 나누는데(사분면), 오른쪽·위가 양수 쪽이다. 점 $(-2, 3)$처럼 부호가 섞이면 "왼쪽으로 $2$, 위로 $3$"으로 방향까지 함께 읽어야 위치를 정확히 짚을 수 있다. ## 기본 공식 두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$에 대해: - **거리**: $\overline{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ — 피타고라스 정리를 좌표로 옮긴 것 - **중점**: $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ - **내분점**: 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분하는 점은 $\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$ ## 예시 $A(1, 2)$, $B(4, 6)$의 거리는 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, 중점은 $\left(\frac{5}{2}, 4\right)$, $AB$를 $2:1$로 내분하는 점은 $\left(\frac{2\cdot4+1\cdot1}{3}, \frac{2\cdot6+1\cdot2}{3}\right) = (3, \frac{14}{3})$. ## 관련 개념 - 좌표 위의 도형: 직선의 방정식, 원의 방정식, 이차곡선 - 순서쌍에 방향의 관점을 더한 것이 벡터다 - 좌표평면을 좌표평면으로 옮기는 규칙이 일차변환, 도형의 이동이다 - 공간으로 확장하면 공간도형과 구의 방정식을 다룰 수 있다 --- 관련 개념: - 함수 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98) - 직선의 방정식 (/wiki/math/%EC%A7%81%EC%84%A0%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 원의 방정식 (/wiki/math/%EC%9B%90%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D) - 이차곡선 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EA%B3%A1%EC%84%A0) - 벡터 (/wiki/math/%EB%B2%A1%ED%84%B0) - 일차변환 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B3%80%ED%99%98) - 도형의 이동 (/wiki/math/%EB%8F%84%ED%98%95%EC%9D%98_%EC%9D%B4%EB%8F%99) - 공간도형 (/wiki/math/%EA%B3%B5%EA%B0%84%EB%8F%84%ED%98%95) - 구의 방정식 (/wiki/math/%EA%B5%AC%EC%9D%98_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)