평균은 여러 개의 수를 모두 더한 다음, 그 개수로 나눈 값입니다. 자료들을 고르게 맞추면 얼마가 되는지를 나타내는 수예요.
$$ \text{평균} = \text{(자료 값의 합)} \div \text{(자료의 개수)} $$
친구 4명이 사탕을 각각 2개, 4개, 6개, 8개 가지고 있다고 해봐요. 이 사탕을 모두 한곳에 모았다가 4명에게 똑같이 나눠 준다면 몇 개씩 받게 될까요? 전부 더하면 20개이고, 4명이 나눠 가지면 한 사람당 5개씩 받습니다. 이 5개가 바로 사탕 개수의 평균이에요.
즉, 평균은 "울퉁불퉁한 자료들을 다 같은 높이로 편평하게 만들면 얼마가 되는가"를 보여주는 수입니다. 어떤 친구는 원래 2개밖에 없었지만 평균을 내면 5개인 것처럼, 평균은 실제로 누군가 가진 값이 아닐 수도 있습니다.
친구 3명이 구슬을 각각 4개, 7개, 10개 가지고 있다고 해봅시다. 이 구슬을 모두 모아서 3명에게 하나도 남기지 않고 똑같이 나눠 주려고 합니다. 몇 개씩 나눠 줘야 할까요?
1단계: 먼저 구슬을 모두 모아야 합니다. 모은 구슬의 개수는 덧셈으로 구합니다.
$$ 4+7+10=21(\text{개}) $$
2단계: 모은 21개를 3명에게 똑같이 나눠 줘야 하므로, 나눗셈으로 한 사람 몫을 구합니다.
$$ 21 \div 3 = 7(\text{개}) $$
3단계: 정말 똑같이 나뉘었는지 확인해 봅시다. 한 사람이 7개씩 받으면, 3명이 받은 개수를 모두 더한 값은 $7+7+7=21$(개)로, 처음에 모은 구슬 개수와 정확히 같습니다. 즉 "합을 개수로 나눈 값"으로 나눠 주면 남거나 모자라지 않게 딱 맞아떨어집니다.
이 두 단계 — ① 모두 더하기, ② 개수로 나누기 — 를 하나의 식으로 쓴 것이 바로 평균의 정의입니다.
$$ \text{평균} = \text{(자료 값의 합)} \div \text{(자료의 개수)} $$
예시 1. 재호의 수학 점수가 80점, 90점, 100점이었습니다. 평균 점수는?
$$ (80+90+100) \div 3 = 270 \div 3 = 90(\text{점}) $$
예시 2. 하루 동안 마신 물의 양이 월요일 200mL, 화요일 300mL, 수요일 250mL, 목요일 250mL였습니다. 평균은?
$$ (200+300+250+250) \div 4 = 1000 \div 4 = 250(\text{mL}) $$
예시 3. 자료 개수가 짝수라서 평균이 자연수가 아닐 수도 있어요. 5와 6의 평균은 $(5+6) \div 2 = 11 \div 2 = 5.5$입니다.
학교 성적표에 나오는 "평균 점수"가 대표적인 예입니다. 국어, 수학, 영어, 과학 네 과목 점수를 모두 더해서 4로 나누면 그 학생의 평균 점수가 되는데, 이는 여러 과목의 실력을 하나의 수로 대표해서 보여 주는 역할을 합니다.
잘못된 생각: 자료를 다 더한 값(합계)이 곧 평균이다. → 왜 틀렸는지: 합계는 자료 개수만큼 나누기 전의 값입니다. 예를 들어 2, 4, 6의 합계는 12이지만, 평균은 개수 3으로 나눈 $12 \div 3 = 4$입니다.
잘못된 생각: 평균은 반드시 주어진 자료 중 하나와 같아야 한다. → 왜 틀렸는지: 평균은 자료를 고르게 맞춘 값이라서, 5와 6의 평균 5.5처럼 원래 자료에 없던 값이 나올 수 있습니다.
잘못된 생각: 자료가 5개면 그냥 4나 6으로 나눠도 비슷하다. → 왜 틀렸는지: 나누는 수는 반드시 자료의 개수와 정확히 같아야 합니다. 개수를 잘못 세면 평균이 완전히 달라집니다.
평균이라는 말은 원래 수학 용어가 아니라 옛 상인들의 항해 무역에서 나온 말입니다. 배에 실은 짐 가운데 일부를 바다에 버려야 위험한 상황을 벗어날 수 있었던 경우, 그 손해를 짐 주인들이 똑같이 나눠 부담하던 관습을 가리키는 말이었습니다. 이후 여러 사람의 몫을 고르게 나눈다는 뜻이 점점 넓어져, 여러 개의 수를 고르게 맞춘 값을 가리키는 지금의 뜻으로 자리 잡았습니다. 한편 천문학자들은 별의 위치를 여러 번 측정할 때마다 값이 조금씩 다르게 나오는 문제를 겪었는데, 여러 측정값을 더해 개수로 나누면 오차가 줄어든 더 믿을 만한 값을 얻을 수 있다는 사실을 알게 되면서, 평균을 구하는 방법이 과학 전반에 널리 쓰이게 되었습니다.