정수는 자연수 $1, 2, 3, \dots$(이를 양의 정수라고도 한다)와 그 앞에 $-$ 부호를 붙인 음의 정수 $-1, -2, -3, \dots$, 그리고 $0$을 모두 합친 수 전체를 말한다.
$$\text{정수} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$
유리수는 두 정수 $a$, $b$ ($b \neq 0$, "$b$는 $0$이 아니다"라고 읽는다)를 써서 분수 $\dfrac{a}{b}$ 꼴로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 정수 $a$는 $\dfrac{a}{1}$로 쓸 수 있으므로, 모든 정수는 유리수에 포함된다.
정수는 자연수만으로는 표현할 수 없는 "반대 방향"을 나타내기 위해 만든 수다. 해발고도가 $+100\text{m}$이면 산 위, $-100\text{m}$이면 바다 밑이듯이, 부호는 방향(또는 상태)을, 숫자 부분(절댓값)은 크기를 나타낸다. $|a|$(절댓값 $a$라고 읽는다)는 수직선에서 $a$가 원점 $0$으로부터 떨어진 거리이다. 예를 들어 $|-5|=5$, $|3|=3$이다.
유리수는 정수만으로는 표현할 수 없는 "정수 사이의 값"—빚을 나눠 갚거나 소금물의 농도처럼 나누어 떨어지지 않는 상황—을 표현하기 위한 수다. 정수는 유리수라는 더 큰 틀 안의 특별한 경우일 뿐이다.
유리수의 사칙연산에서 부호는 다음 규칙을 따른다.
잘못된 생각: $5 - (-3)$을 계산할 때 그냥 $5 - 3 = 2$로 계산한다. 왜 틀렸는지: 뺄셈을 할 때는 빼는 수의 부호를 반드시 바꾸어 덧셈으로 고쳐야 한다. $5-(-3)=5+3=8$이 맞다. 괄호 안 음수 부호를 지우고 계산하면 부호가 반대로 바뀐다.
잘못된 생각: $(-2) \times (-3) = -6$이라고 생각한다. 왜 틀렸는지: 음수와 음수를 곱하면 부호가 같으므로 결과는 양수다. $(-2)\times(-3)=6$이 맞다. "마이너스가 있으니 결과도 마이너스"라는 직관은 곱셈 부호 규칙과 다르다.
잘못된 생각: 절댓값이 큰 수가 항상 더 큰 수라고 생각해 $-8$이 $-3$보다 크다고 판단한다. 왜 틀렸는지: 음수는 절댓값이 클수록 수직선에서 원점에서 더 멀리 있는 음의 방향, 즉 더 작은 수다. $-8 < -3$이 맞다.