좌표평면 위의 한 직선은 $x$, $y$에 대한 일차방정식으로 나타낼 수 있다. 이를 직선의 방정식이라 한다.
직선의 방정식은 "이 직선 위에 있는 점 $(x, y)$가 만족해야 하는 조건"을 등식으로 적어 둔 것이다. 기울기는 $x$가 $1$만큼 늘어날 때 $y$가 얼마나 변하는지를 나타내는 비율이므로, 한 점과 기울기만 알면 직선 전체의 모양이 정해진다. 마치 출발점(한 점)과 걷는 속도(기울기)만 알면 이동 경로 전체를 예측할 수 있는 것과 같다.
이미 일차함수에서 배운 기울기의 정의에서 출발하자. 직선 위의 서로 다른 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$에 대해 기울기는
$$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad (x_1 \neq x_2)$$
로 정의된다. 이제 기울기가 $m$이고 점 $(x_1,y_1)$을 지나는 직선 위의 임의의 점을 $(x,y)$라 하면, 이 점과 $(x_1,y_1)$ 사이에도 같은 기울기 정의를 그대로 적용할 수 있다.
$$m = \frac{y-y_1}{x-x_1}$$
이 식은 $x \neq x_1$일 때만 뜻이 있는데(분모가 $0$이 되면 안 되므로), 양변에 $(x-x_1)$을 곱하면 분모를 없앨 수 있고 $x=x_1$인 경우까지 포함해서 다룰 수 있게 된다.
$$y - y_1 = m(x-x_1)$$
이것이 점-기울기 꼴이다. 여기까지는 기울기 $m$이 이미 주어져 있다고 가정했다. 만약 기울기 대신 서로 다른 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$만 주어졌다면, 먼저 그 두 점으로 기울기를 계산한 뒤
$$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
이 값을 방금 얻은 점-기울기 꼴에 그대로 대입하면 된다.
$$y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$
한편 $x_1 = x_2$인 경우는 두 점의 $x$좌표가 같으므로, 기울기를 정의하는 분수의 분모가 $0$이 되어 기울기 자체가 존재하지 않는다. 이때는 직선 위의 모든 점이 $x$좌표를 $x_1$로 공유한다는 사실만으로 직선이 결정되므로, 방정식은 단순히 $x = x_1$이 된다.
마지막으로 점-기울기 꼴 $y-y_1=m(x-x_1)$의 우변을 전개하면
$$y - y_1 = mx - mx_1 \implies mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$$
이 되어, $a=m$, $b=-1$, $c=y_1-mx_1$로 두면 정확히 일반형 $ax+by+c=0$의 모양이 나온다. 즉 일반형은 점-기울기 꼴을 단순히 이항하여 정리한 것일 뿐이다.
두 점 $(2,-1)$, $(5,5)$를 지나는 직선의 방정식을 구해 보자.
$$m = \frac{5-(-1)}{5-2} = \frac{6}{3} = 2, \quad y-(-1) = 2(x-2) \implies y = 2x-5$$
이 직선에 수직이면서 점 $(1,1)$을 지나는 직선은 기울기가 $-\dfrac{1}{2}$이므로
$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x-1) \implies x + 2y - 3 = 0$$
건물 입구에 설치하는 휠체어 경사로는 법적으로 기울기(구배) 기준을 지켜야 한다. 예를 들어 기울기가 $\dfrac{1}{12}$ 이하가 되도록 설계해야 한다면, 이는 경사로를 나타내는 직선의 기울기 $m$이 $\dfrac{1}{12}$을 넘지 않아야 한다는 뜻이다. 경사로의 시작점 높이를 $(0,0)$으로 두면, 수평 거리 $x$만큼 나아갔을 때 허용되는 최대 높이 $y$는 직선의 방정식 $y = \dfrac{1}{12}x$로 계산할 수 있다. 이처럼 두 지점(시작점과 목표 높이)을 지나는 직선의 방정식을 세우면, 필요한 경사로의 최소 길이를 역으로 구할 수 있다.
잘못된 생각: 수직선 $x = 3$도 다른 직선처럼 기울기를 구할 수 있다. 왜 틀렸는지: 기울기는 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$인데 수직선 위의 두 점은 $x_1 = x_2$이므로 분모가 $0$이 되어 기울기가 정의되지 않는다. $x=3$은 $y=mx+n$ 꼴로 나타낼 수 없다.
잘못된 생각: 기울기가 $2$인 직선에 수직인 직선의 기울기는 역수인 $\dfrac{1}{2}$이다. 왜 틀렸는지: 수직 조건은 $m_1 m_2 = -1$이므로 역수를 취한 뒤 부호도 반대로 바꿔야 한다. 올바른 답은 $-\dfrac{1}{2}$이다.
잘못된 생각: 점과 직선 사이의 거리를 구할 때 $\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$처럼 절댓값 없이 계산한다. 왜 틀렸는지: 대입값이 음수가 나올 수 있는데 거리는 항상 $0$ 이상이어야 하므로 분자에 반드시 절댓값을 씌워야 한다.
직선을 좌표평면 위의 방정식으로 표현하는 방법은 17세기 프랑스의 수학자 르네 데카르트가 대수와 기하를 연결하는 좌표 체계를 고안하면서 가능해졌다. 그 전까지 기하학은 도형을 눈으로 보고 자와 컴퍼스로 다루는 학문이었고, 직선이나 곡선의 성질을 계산으로 다룰 방법이 마땅치 않았다. 데카르트는 1637년에 발표한 저서 《방법서설》의 부록인 《기하학》에서 평면 위의 점을 두 수의 순서쌍으로 나타내는 좌표 개념을 제시했고, 이를 통해 직선을 일차방정식으로 나타낼 수 있음을 보였다. 이 발상 덕분에 도형에 관한 문제를 방정식을 푸는 대수 문제로 바꿀 수 있게 되었고, 오늘날 배우는 직선의 방정식 표기법도 여기서 비롯되었다.