직선의 방정식

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정의

좌표평면 위의 한 직선은 $x$, $y$에 대한 일차방정식으로 나타낼 수 있다. 이를 직선의 방정식이라 한다.

• 기울기(직선이 기울어진 정도) $m$과 그 직선이 지나는 한 점 $(x_1, y_1)$이 주어지면 $$y - y_1 = m(x - x_1)$$
• 서로 다른 두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ ($x_1 \neq x_2$)를 지나는 직선은 $$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$
• $x_1 = x_2$이면 두 점을 지나는 직선은 $y$축에 평행한 수직선 $x = x_1$이다.
• 일반형: $ax + by + c = 0$ ($a$, $b$는 동시에 $0$이 아님)

직관

직선의 방정식은 "이 직선 위에 있는 점 $(x, y)$가 만족해야 하는 조건"을 등식으로 적어 둔 것이다. 기울기는 $x$가 $1$만큼 늘어날 때 $y$가 얼마나 변하는지를 나타내는 비율이므로, 한 점과 기울기만 알면 직선 전체의 모양이 정해진다. 마치 출발점(한 점)과 걷는 속도(기울기)만 알면 이동 경로 전체를 예측할 수 있는 것과 같다.

성질

• 평행: 두 직선의 기울기가 같으면 평행하다 (일치하지 않는 경우).
• 수직: 기울기가 각각 $m_1$, $m_2$인 두 직선이 서로 수직이면 $m_1 m_2 = -1$이다.
• 점과 직선 사이의 거리: 점 $(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 $$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

예시

두 점 $(2,-1)$, $(5,5)$를 지나는 직선의 방정식을 구해 보자.

$$m = \frac{5-(-1)}{5-2} = \frac{6}{3} = 2, \quad y-(-1) = 2(x-2) \implies y = 2x-5$$

이 직선에 수직이면서 점 $(1,1)$을 지나는 직선은 기울기가 $-\dfrac{1}{2}$이므로

$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x-1) \implies x + 2y - 3 = 0$$

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: 수직선 $x = 3$도 다른 직선처럼 기울기를 구할 수 있다. 왜 틀렸는지: 기울기는 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$인데 수직선 위의 두 점은 $x_1 = x_2$이므로 분모가 $0$이 되어 기울기가 정의되지 않는다. $x=3$은 $y=mx+n$ 꼴로 나타낼 수 없다.

• 잘못된 생각: 기울기가 $2$인 직선에 수직인 직선의 기울기는 역수인 $\dfrac{1}{2}$이다. 왜 틀렸는지: 수직 조건은 $m_1 m_2 = -1$이므로 역수를 취한 뒤 부호도 반대로 바꿔야 한다. 올바른 답은 $-\dfrac{1}{2}$이다.

• 잘못된 생각: 점과 직선 사이의 거리를 구할 때 $\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$처럼 절댓값 없이 계산한다. 왜 틀렸는지: 대입값이 음수가 나올 수 있는데 거리는 항상 $0$ 이상이어야 하므로 분자에 반드시 절댓값을 씌워야 한다.

확인 문제

1. 두 점 $(2,-1)$, $(5,5)$를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
2. 직선 $2x-y+3=0$에 수직이고 점 $(1,1)$을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
3. 점 $(2,3)$과 직선 $3x+4y-6=0$ 사이의 거리를 구하시오.

관련 개념

• 평면좌표 — 직선 위의 점을 좌표로 나타내는 바탕이 되는 개념
• 일차함수 — 직선의 방정식을 함수 관점에서 다루는 개념
• 연립일차방정식 — 두 직선의 교점을 구하는 데 쓰인다
• 원의 방정식 — 점과 직선 사이의 거리 공식이 원과 직선의 위치 관계 판정에 쓰인다
• 부등식의 영역 — 직선이 평면을 나누는 경계로 활용된다