도형의 이동

기하 고등 · v1 · 🤖 LLM 버전

정의

평면 위의 도형을 일정한 규칙에 따라 다른 위치로 옮기는 것을 도형의 이동이라 한다. 고등학교 과정에서는 크게 두 가지를 다룬다.

평행이동(translation): 점 $P(x, y)$를 $x$축 방향으로 $a$, $y$축 방향으로 $b$만큼 옮긴 점을 $P'(x+a,\ y+b)$($P'$은 "피 프라임"이라 읽는다)라 한다. 방정식 $f(x, y) = 0$이 나타내는 도형을 $x$축 방향으로 $a$, $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동한 도형의 방정식은

$$f(x-a,\ y-b) = 0$$

이다. ($x, y$ 대신 $x-a, y-b$를 대입한다는 점에 주의한다.)

대칭이동(reflection): 점 $P(x,y)$를

• $x$축에 대하여 대칭이동하면 $(x, -y)$
• $y$축에 대하여 대칭이동하면 $(-x, y)$
• 원점에 대하여 대칭이동하면 $(-x, -y)$
• 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하면 $(y, x)$

로 옮긴다. 도형의 방정식은 이 대응 규칙에 따라 $x, y$ 자리를 바꿔 넣어서 구한다.

직관

평행이동은 도형을 종이 위에서 밀어서 옮기는 것과 같다. 모양과 크기, 방향은 그대로 두고 위치만 바꾼다. 반면 대칭이동은 거울에 비추듯 도형을 뒤집는 것이다. $x$축 대칭은 가로선을 거울로 삼아 위아래를 뒤집는 것이고, $y$축 대칭은 세로선을 거울로 삼아 좌우를 뒤집는 것이다. 두 이동 모두 도형의 모양과 크기는 바뀌지 않으므로 이동 전후의 도형은 항상 합동이다.

예시

예시 1. 직선 $y = 2x + 1$을 $x$축 방향으로 3, $y$축 방향으로 $-2$만큼 평행이동하자. $x$ 대신 $x-3$, $y$ 대신 $y-(-2) = y+2$를 대입하면

$$y+2 = 2(x-3) + 1 = 2x - 5 \ \Rightarrow\ y = 2x - 7$$

예시 2. 원 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$를 원점에 대하여 대칭이동하면, $x$ 대신 $-x$, $y$ 대신 $-y$를 대입하여

$$(-x-1)^2 + (-y-2)^2 = 4 \ \Rightarrow\ (x+1)^2 + (y+2)^2 = 4$$

즉 중심이 $(-1,-2)$인 원으로 옮겨지고, 반지름은 그대로 2이다.

⚠️ 흔한 실수

• 평행이동 공식의 부호 실수: 도형을 $x$축 방향으로 $a$만큼 옮겼으니 방정식에도 $x$ 대신 $x+a$를 넣어야 한다고 생각하기 쉽다. 하지만 점이 오른쪽으로 이동했다면, 새 도형의 방정식은 옛 좌표 $(x-a, y-b)$가 원래 방정식을 만족해야 성립하므로 반드시 $f(x-a, y-b)=0$이 되어야 한다. 부호를 반대로 쓰면 이동 방향이 거꾸로 나온다.
• 좌표축 이동과 도형 이동의 혼동: "도형을 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동"과 "좌표축을 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동"은 결과가 반대이다. 좌표축을 이동하면 도형은 상대적으로 반대 방향($-a$)으로 이동한 것처럼 보인다. 문제에서 어느 쪽이 이동하는지 반드시 확인해야 한다.
• $x$축 대칭과 $y$축 대칭 뒤바꿈: $x$축에 대한 대칭은 $y$의 부호만 바뀌고($y \to -y$), $y$축에 대한 대칭은 $x$의 부호만 바뀐다($x \to -x$). 이름과 실제로 부호가 바뀌는 좌표가 반대라서 자주 헷갈리는데, "그 축에 수직으로 뒤집으니 그 축이 아닌 좌표가 바뀐다"고 기억하면 헷갈리지 않는다.

확인 문제

1. 포물선 $y = x^2$을 $x$축 방향으로 $-1$, $y$축 방향으로 $3$만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하여라.
2. 점 $(4, -5)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.
3. 원 $x^2 + y^2 = 9$를 $y$축에 대하여 대칭이동하면 어떤 도형이 되는지 설명하여라.

관련 개념

• 평면좌표
• 합동과 대칭
• 직선의 방정식
• 원의 방정식
• 이차곡선