평면 위의 원의 방정식은 한 점에서 거리가 같은 점들을 평면 안에서 모은 것이다. 구는 그 아이디어를 3차원 공간으로 그대로 확장한 것뿐이다 — 중심에서 실을 사방으로 똑같은 길이만큼 늘여 끝점을 찍으면 그 끝점들이 만드는 도형이 구다. 그래서 원의 방정식에서 $z$에 대한 항 하나만 더 붙었을 뿐, 식을 만드는 논리(거리 공식 → 양변 제곱)는 완전히 같다.
성질 (일반형)
표준형을 전개하면 $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ 꼴의 일반형을 얻는다. 반대로 이 꼴이 주어지면 완전제곱식으로 변형하여 중심과 반지름을 찾을 수 있다.
우변이 양수일 때만 실제로 구를 나타내며, 중심은 $\left(-\tfrac{A}{2}, -\tfrac{B}{2}, -\tfrac{C}{2}\right)$, 반지름은 우변의 제곱근이다.
예시
중심이 $(2, -3, 1)$이고 반지름이 $3$인 구의 방정식은 $(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=9$이다.
구 $x^2+y^2+z^2=25$를 $xy$평면($z=0$)으로 자르면 $x^2+y^2=25$가 남는데, 이는 반지름 $5$인 원이다. 즉 구를 중심을 지나는 평면으로 자른 단면은 구와 반지름이 같은 원(대원)이 된다.
🌍 실생활 예시
GPS(위성항법장치)는 구의 방정식을 그대로 이용한다. 위성 하나로부터 신호가 도달하는 데 걸린 시간을 재면 "위성을 중심, 신호가 이동한 거리를 반지름으로 하는 구 위 어딘가"라는 정보만 얻는다. 위성 세 개(때로는 시계 오차 보정을 위해 네 개)로부터 얻은 세 구의 방정식을 연립해서 풀면 세 구가 공통으로 만나는 점, 즉 수신기의 실제 위치가 정해진다.
⚠️ 흔은 실수
잘못된 생각: 구의 방정식을 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$처럼 쓴다. → 왜 틀렸는지: 이것은 $z$ 좌표가 빠진 원의 방정식이다. 공간에서 이 식은 원이 아니라 $z$축 방향으로 무한히 늘어난 원기둥을 나타낸다. 구를 나타내려면 반드시 $(z-c)^2$ 항이 있어야 한다.
잘못된 생각: 일반형 $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$에서 반지름의 제곱을 $A^2+B^2+C^2-4D$로 계산한다. → 왜 틀렸는지: 완전제곱을 만들 때 각 항을 $\left(x+\frac{A}{2}\right)^2$ 형태로 바꾸면서 $\frac{A^2}{4}$가 나오므로, 올바른 값은 $\frac{A^2+B^2+C^2}{4}-D$이다. $4$로 나누는 것을 빠뜨리면 반지름이 실제보다 훨씬 크게 나온다.
잘못된 생각: 일반형이 주어지면 항상 구를 나타낸다고 가정한다. → 왜 틀렸는지: $\frac{A^2+B^2+C^2}{4}-D \le 0$이면 반지름의 제곱이 $0$ 이하가 되어, 점 하나($=0$일 때)이거나 그런 도형 자체가 존재하지 않는다($<0$일 때). 판별식 조건을 반드시 확인해야 한다.
확인 문제
중심이 $(1, -2, 3)$이고 반지름이 $5$인 구의 방정식을 표준형과 일반형으로 각각 나타내어라.
방정식 $x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z+5=0$이 나타내는 구의 중심과 반지름을 구하여라.
(개념 문제) 구 $x^2+y^2+z^2=25$를 평면 $z=3$으로 자르면 어떤 도형이 나오는지, 그 도형의 방정식과 반지름을 구하고, 왜 이 반지름이 구의 반지름 $5$보다 작아지는지 설명하여라.
완전제곱을 하면 $(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=4+9+1-5=9$이므로 중심은 $(2,-3,1)$, 반지름은 $3$.
$z=3$을 대입하면 $x^2+y^2=25-9=16$, 즉 중심을 지나지 않는 평면 단면은 반지름 $4$인 원이다. 중심 $(0,0,0)$에서 자르는 평면 $z=3$까지의 거리가 $3$이므로, 피타고라스 정리에 의해 단면 원의 반지름은 $\sqrt{5^2-3^2}=4$가 된다. 평면이 구의 중심에서 멀어질수록 단면 원은 점점 작아지고, 중심을 지날 때(대원)만 반지름이 구와 같은 $5$가 됨을 알 수 있다.