이 개념은 3차~6차 교육과정과 2007 개정 교육과정의 일반계 고교 과정에 있었고, 2009 개정에서 삭제되었다.
일차변환(linear transformation)은 좌표평면의 점을 좌표평면의 점으로 옮기는 함수 $f$ 중, 임의의 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$와 실수 $k$에 대해 다음 두 조건을 만족하는 것이다:
$$f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v}), \qquad f(k\vec{u}) = k\,f(\vec{u})$$
"덧셈과 실수배 구조를 보존하는 변환"이다. 격자무늬가 그려진 고무판을 늘이거나 돌리는 것을 상상하면 된다 — 격자는 기울고 늘어날 수 있지만, 평행한 직선은 평행하게, 원점은 원점에 남는다. 회전, 대칭, 확대·축소는 모두 일차변환이고, 평행이동은 원점을 옮기므로 일차변환이 아니다.
정의에 나오는 두 등식 $f(\vec{u}+\vec{v}) = f(\vec{u})+f(\vec{v})$, $f(k\vec{u}) = kf(\vec{u})$은 기호만 보면 딱딱하지만, 하는 말은 단순하다. "먼저 옮기고 더하나, 먼저 더하고 옮기나 결과가 같다" — 즉 변환이 벡터의 덧셈과 실수배를 흐트러뜨리지 않는다는 뜻이다. 이 조건이 강력한 이유는, 이것만 성립하면 기준이 되는 두 벡터가 어디로 가는지만 알면 나머지 모든 점의 행선지가 자동으로 정해지기 때문이다. 그래서 평면 전체의 변환이 숫자 네 개(행렬 하나)로 압축된다.
여기서 흔한 의문이 "평행이동은 왜 일차변환이 아닌가"다. 위 두 번째 조건에 $k=0$을 넣어 보면 $f(\vec{0}) = \vec{0}$, 즉 원점은 반드시 제자리에 있어야 한다. 그런데 평행이동은 원점을 다른 곳으로 옮기니 이 조건을 어긴다. 회전·대칭·확대는 원점을 고정한 채 평면을 비틀기만 하므로 일차변환이지만, 평면을 통째로 밀어버리는 평행이동은 그 틀에서 벗어난다.
이 관점이 잡히면 "변환을 곱셈으로, 곱셈을 변환으로" 오가는 게 자연스러워진다. 두 변환을 잇달아 적용한 결과가 행렬의 곱 하나로 나오고, 되돌리는 변환이 역행렬로 나온다. 도형을 움직이는 일과 숫자를 계산하는 일이 같은 것의 두 얼굴이라는 게 이 단원의 큰 그림이다.
모든 평면의 일차변환은 행렬 하나로 표현된다:
$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
두 일차변환의 합성은 행렬의 곱에, 변환을 되돌리는 것은 역행렬에 대응한다. 변환을 계산으로, 계산을 변환으로 오갈 수 있다는 것이 이 단원의 핵심 통찰이다.
$\theta = 90^\circ$ 회전이면 $(x, y) \to (-y, x)$. 점 $(1, 0)$은 $(0, 1)$로 간다:
$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$