이차곡선(conic section)은 좌표평면에서 $x, y$에 대한 이차방정식
$$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$$
(단, $A, B$가 동시에 0은 아니다)의 그래프로 나타나는 도형을 통틀어 이르는 말이다. 계수 $A, B$의 부호와 값에 따라 원, 포물선, 타원, 쌍곡선의 네 가지(또는 점, 직선, 공집합과 같은 특수한 경우)로 분류된다.
이차곡선은 다음과 같이 초점과 준선을 이용해 통일적으로 정의할 수도 있다. 평면 위의 한 정점 F(초점, focus)와 F를 지나지 않는 한 직선 $l$(준선, directrix)이 있을 때, 점 P에서 F까지의 거리와 $l$까지의 거리의 비
$$e = \frac{\overline{PF}}{d(P, l)}$$
가 일정한 점 P의 자취를 이차곡선이라 하고, $e$를 이심률(eccentricity, "이심률"이라 읽는다)이라 한다.
원뿔(원뿔면)을 평면으로 자르는 각도를 바꾸면 단면의 모양이 달라진다. 밑면과 평행하게 자르면 원, 조금 기울여 자르면 타원, 모선과 평행하게 자르면 포물선, 원뿔의 축에 더 가깝게 세워 자르면 쌍곡선이 나온다. 이렇게 하나의 도형(원뿔)을 자르는 방식에 따라 서로 달라 보이는 네 곡선이 사실은 "이차방정식의 그래프"라는 하나의 틀 안에 있다는 것이 이차곡선이라는 개념의 핵심이다.
$xy$항이 없는 이차방정식 $Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$은 계수 $A, B$의 부호에 따라 다음과 같이 분류된다.
| $A, B$ 조건 | 곡선 |
|---|---|
| $A=B\neq0$ | 원 |
| $A, B$ 부호 같고 $A\neq B$ | 타원 |
| $A, B$ 중 하나만 0 | 포물선 |
| $A, B$ 부호 다름 | 쌍곡선 |
완전제곱식으로 변형하면 표준형(중심, 초점, 반지름 등)을 알 수 있다.
$x^2+4y^2-2x+16y+13=0$이 나타내는 곡선을 판별해 보자. $x, y$에 대해 완전제곱식을 만들면
$$(x^2-2x+1)+4(y^2+4y+4) = -13+1+16$$ $$(x-1)^2+4(y+2)^2 = 4$$ $$\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{1}=1$$
$A=1, B=4$로 부호가 같고 값이 다르므로 중심이 $(1,-2)$인 타원이다.
잘못된 생각: "$x^2$과 $y^2$이 둘 다 있으면 원 아니면 타원이다." 왜 틀렸는가: $x^2-y^2=1$은 $x^2, y^2$이 모두 있지만 계수의 부호가 다르므로 쌍곡선이다. 부호가 같을 때만 원·타원이고, 부호가 다르면 쌍곡선이 된다.
잘못된 생각: 이차함수의 그래프(포물선)만 배워서 "이차곡선도 결국 $y=ax^2+bx+c$ 꼴이어야 한다." 왜 틀렸는가: 이차함수의 그래프는 $y$가 $x$에 대한 이차식이고 $x$는 일차식인 특수한 이차곡선(포물선)일 뿐이다. 이차곡선은 $x^2, y^2$이 함께 나타나는 원·타원·쌍곡선까지 포함하는 더 넓은 개념이다.
잘못된 생각: 완전제곱식으로 바꿀 때 $4y^2+16y = 4(y+2)^2$이라고 계산. 왜 틀렸는가: $4(y+2)^2 = 4y^2+16y+16$이므로 원래 식과 같아지려면 $4(y+2)^2-16$이 되어야 한다. 이 상수항을 빠뜨리면 중심의 좌표나 우변의 값이 틀려 곡선의 종류 자체를 잘못 판별하게 된다.