직선 $l$과 평면 $\alpha$(알파)의 위치 관계는 $l$이 $\alpha$에 포함되거나, 한 점에서 만나거나, 평행한 세 경우뿐이다. 두 평면 $\alpha$, $\beta$(베타)는 평행하거나 한 직선(교선)에서 만난다.
두 평면이 만날 때 교선 위의 한 점에서 각 평면에 그은, 교선에 수직인 두 반직선이 이루는 각을 이면각이라 한다.
삼수선의 정리: 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $P$에서 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $O$, $\alpha$ 위의 직선 $l$ 위의 한 점을 $H$라 할 때,
$$\overline{PH} \perp l \iff \overline{OH} \perp l$$
(단, $O \ne H$이고 $P$, $O$, $H$가 이루는 관계가 위 조건을 만족)
직관
평면도형은 종이 위의 세계라면, 공간도형은 방 안의 세계다. 벽과 벽, 벽과 바닥이 만나는 모서리가 교선이고, 문틀의 대각선과 천장의 조명선처럼 서로 만나지도 평행하지도 않게 놓인 직선들이 바로 꼬인 위치의 예다. 평면에서는 "안 만나면 평행"이 항상 참이지만, 공간으로 오면 이 직관이 깨진다 — 이것이 공간도형을 배우는 핵심 이유다.
성질
정사영: 도형을 한 평면에 수직으로 투영한 그림자를 정사영이라 한다. 넓이 $S$인 도형을 평면과 $\theta$(세타)의 각을 이루는 평면 위에서 정사영하면, 그 넓이 $S'$은
$$S' = S\cos\theta$$
한 직선과 평면이 이루는 각은 그 직선과, 직선을 평면에 내린 정사영이 이루는 각으로 정의한다.
한 모서리의 길이가 $2$인 정육면체 $ABCD\text{-}EFGH$가 있다고 하자 (윗면 $EFGH$, 아랫면 $ABCD$, $E$는 $A$ 바로 위).
직선 $AB$와 직선 $EH$는 만나지도 평행하지도 않으므로 꼬인 위치에 있다.
직선 $AE$와 평면 $ABCD$가 이루는 각: $AE \perp ABCD$이므로 각의 크기는 $90°$이다.
삼각형 $ABC$를 평면 $ABCD$와 $45°$를 이루는 평면 위에 정사영하면, 넓이는 원래 넓이 $2$에 $\cos 45° = \dfrac{\sqrt2}{2}$를 곱한 $\sqrt2$가 된다.
🌍 실생활 예시
건축에서 지붕과 벽이 만나는 부분의 경사를 설계할 때 이면각을 계산한다. 예를 들어 경사 지붕의 두 면이 만나는 각이나, 지붕과 수평인 천장이 이루는 각을 구해야 빗물이 잘 흐르는 각도와 실내 공간의 높이를 동시에 맞출 수 있다. 이때 지붕면을 바닥에 정사영해 실제 바닥 면적을 계산하는 것도 정사영의 넓이 공식이 쓰이는 예다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: 두 직선이 만나지 않으면 항상 평행하다. → 왜 틀렸는가: 이는 평면 위에서만 성립한다. 공간에서는 같은 평면에 놓이지 않는 두 직선이 만나지 않으면서도 평행하지 않은 꼬인 위치가 존재한다. 정육면체의 $\overline{AB}$와 $\overline{EH}$가 대표적인 예다.
잘못된 생각: 삼수선의 정리에서 $\overline{OH} \perp l$이면 무조건 $\overline{PH} \perp l$이 성립한다. → 왜 틀렸는가: 이 정리는 $\overline{PO} \perp \alpha$(즉 $O$가 $P$의 수선의 발)라는 전제가 반드시 필요하다. 이 전제 없이 $\overline{OH} \perp l$만으로는 결론이 성립하지 않는다.
잘못된 생각: 정사영을 할 때 넓이에 $\sin\theta$를 곱한다. → 왜 틀렸는가: $\theta$를 두 평면이 이루는 각으로 정의했을 때, 정사영의 넓이는 원래 넓이에 $\cos\theta$를 곱한 값이다. $\theta=0°$(같은 평면)일 때 넓이가 그대로 보존되어야 하는데 $\sin 0°=0$이 되면 모순이므로, $\cos\theta$가 맞는 이유를 직접 확인해 보면 헷갈리지 않는다.
확인 문제
정육면체 $ABCD\text{-}EFGH$에서 직선 $AC$와 직선 $BF$의 위치 관계를 말하고, 그 이유를 설명하라.
넓이가 $10$인 평면도형을 어떤 평면 위에 정사영했더니 넓이가 $5$가 되었다. 두 평면이 이루는 각 $\theta$를 구하라.
(직관 문제) 왜 공간에서는 "평행하지 않은 두 직선은 반드시 만난다"는 말이 거짓인지, 정육면체의 모서리를 이용해 구체적인 반례를 들어 설명하고, 이 반례가 성립하려면 두 직선이 어떤 조건(한 평면 위에 있지 않음)을 만족해야 하는지 설명하라.
정답 보기
꼬인 위치이다. $AC$는 아랫면 $ABCD$ 위에, $BF$는 $B$에서 위로 올라가는 모서리인데, 이 둘을 모두 포함하는 평면이 존재하지 않고 두 직선은 만나지도 평행하지도 않기 때문이다.
예를 들어 $\overline{AB}$와 $\overline{EH}$는 평행하지도, 만나지도 않는다. 이 둘을 동시에 포함하는 평면이 존재하지 않기 때문에 "안 만나면 평행"이라는 평면에서의 직관이 깨진다. 꼬인 위치가 성립하려면 두 직선이 애초에 한 평면 위에 놓일 수 없어야 한다 — 즉 완전히 별개의 평면에 속하면서 방향도 같지 않아야 한다.