좌표평면 위에서 점 $\mathrm{C}(a, b)$로부터 거리가 일정한 값 $r$ ($r>0$)인 점 전체의 집합을 원이라 한다. 이때 점 $\mathrm{C}$를 중심, $r$을 반지름이라 하며, 이 원의 방정식은 다음과 같다.
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
특히 중심이 원점 $(0,0)$이면 $x^2+y^2=r^2$이 된다.
이 식을 전개하면 $x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$이 되므로, 원의 방정식은 일반적으로
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
꼴로도 나타낼 수 있다(일반형). 단, 이 식이 실제로 원이 되려면 $A^2+B^2-4C>0$이어야 한다.
원 위의 점 $(x,y)$는 항상 중심 $\mathrm{C}(a,b)$에서 같은 거리 $r$만큼 떨어져 있다. 두 점 사이의 거리 공식 $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$은 피타고라스 정리에서 나온 것인데, 이 거리를 $r$로 고정하고 양변을 제곱하면 바로 원의 방정식이 나온다. 즉 원의 방정식은 "중심에서 거리가 $r$로 일정하다"는 조건을 좌표로 번역한 것일 뿐이다.
이미 알고 있는 것에서 출발하자. 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리로 구할 수 있다: 점 $\mathrm{C}(a,b)$와 점 $\mathrm{P}(x,y)$를 이었을 때, 가로 방향으로 $|x-a|$만큼, 세로 방향으로 $|y-b|$만큼 떨어져 있으므로 이 둘을 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이 두 점 사이의 거리 $\overline{\mathrm{CP}}$가 된다.
$$\overline{\mathrm{CP}}=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$
이제 "원"이 무엇인지 떠올려 보면, 원은 한 점 $\mathrm{C}$로부터 거리가 항상 $r$로 일정한 점들의 모임이다. 그렇다면 점 $\mathrm{P}(x,y)$가 이 원 위에 있다는 것은 곧 $\overline{\mathrm{CP}}=r$이라는 뜻이므로, 위 거리식에 이 조건을 그대로 대입하면 된다.
$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$$
이 식에는 아직 근호가 남아 있어 다루기 불편하다. 거리와 반지름은 항상 $0$ 이상이므로 양변을 제곱해도 같은 뜻을 유지한 채 근호를 없앨 수 있다.
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
이렇게 해서 원의 방정식(표준형)이 나온다. 여기서 한 걸음 더 나아가 좌변을 실제로 전개해 보자.
$$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$$
$x^2, y^2$ 항을 남기고 나머지 상수·일차항을 우변으로 넘겨 정리하면
$$x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$$
이 되는데, $-2a$, $-2b$, $a^2+b^2-r^2$을 각각 $A$, $B$, $C$로 이름만 바꿔 쓰면 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ 꼴, 즉 일반형이 된다. 표준형과 일반형은 서로 다른 식이 아니라 같은 식을 전개했느냐 묶었느냐의 차이일 뿐이다.
중심이 $(2,-1)$이고 반지름이 $3$인 원의 방정식은
$$(x-2)^2+(y+1)^2=9$$
일반형으로 나타내면 $x^2+y^2-4x+2y-4=0$이다.
반대로 $x^2+y^2-6x+4y-3=0$이 주어졌다면, $x$와 $y$끼리 묶어 완전제곱식으로 고친다.
$$(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=3+9+4$$ $$(x-3)^2+(y+2)^2=16$$
따라서 중심 $(3,-2)$, 반지름 $4$인 원이다.
위 그래프는 $x^2+y^2=25$, 즉 중심 $(0,0)$, 반지름 $5$인 원을 위/아래 두 함수로 나타낸 것이다.
지도 앱의 "내 주변 반경 3km" 검색 기능은 원의 방정식을 그대로 활용한다. 앱은 사용자의 현재 위치를 좌표 $(a,b)$로 잡고, 각 매장의 좌표 $(x,y)$에 대해 $(x-a)^2+(y-b)^2 \le r^2$을 만족하는지 검사해서 반경 $r$ 안에 있는 매장만 걸러낸다. 이는 곧 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$이라는 원의 경계를 기준으로, 그 안쪽(부등식)에 있는지를 판정하는 것과 같다. 재난 문자에서 "발생 지점 반경 5km 이내 주민은 대피하라"고 안내할 때도 같은 방식으로 위험 구역을 원으로 모델링한다.
잘못된 생각: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$을 보고 중심을 $(-a,-b)$라고 착각한다. 왜 틀렸는가: 원의 방정식은 "$x$좌표가 $a$만큼, $y$좌표가 $b$만큼 이동"한 형태이므로 중심은 부호를 바꾸지 않은 $(a,b)$이다. 예를 들어 $(x+3)^2+(y-2)^2=4$의 중심은 $(-3, 2)$이지 $(3,-2)$가 아니다($x+3=x-(-3)$으로 봐야 한다).
잘못된 생각: 일반형 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$이 주어지면 무조건 원이라고 생각하고 반지름을 계산한다. 왜 틀렸는가: $A^2+B^2-4C \le 0$이면 원이 아니다($=0$이면 점 하나, $<0$이면 좌표평면 위에 아무 도형도 없다). 완전제곱식으로 바꿨을 때 우변이 양수인지 반드시 확인해야 한다.
잘못된 생각: 방정식에서 우변의 수 $r^2$을 그대로 반지름으로 쓴다. 왜 틀렸는가: $x^2+y^2=9$에서 반지름은 $9$가 아니라 $\sqrt{9}=3$이다. 우변은 반지름의 제곱이므로 제곱근을 취해야 한다.
좌표를 이용해 도형을 방정식으로 표현하는 방법은 17세기 르네 데카르트가 만든 해석기하학에서 비롯되었다. 그 전까지 원은 컴퍼스로 그리는 순수한 기하학적 도형이었고, 대수식으로 다룰 방법이 마땅치 않았다. 데카르트는 1637년 저서 《방법서설》의 부록 〈기하학〉에서 평면 위의 점을 좌표로 나타내고 도형의 조건을 방정식으로 옮겨 쓰는 방법을 제시했고, 이 틀 안에서 원도 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$과 같은 대수식으로 표현할 수 있게 되었다. 이후 이 접근은 원뿐 아니라 포물선, 타원, 쌍곡선 등 여러 곡선을 하나의 틀로 다루는 이차곡선 이론으로 확장되었다.