좌표평면 위에서 점 $\mathrm{C}(a, b)$로부터 거리가 일정한 값 $r$ ($r>0$)인 점 전체의 집합을 원이라 한다. 이때 점 $\mathrm{C}$를 중심, $r$을 반지름이라 하며, 이 원의 방정식은 다음과 같다.
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
특히 중심이 원점 $(0,0)$이면 $x^2+y^2=r^2$이 된다.
이 식을 전개하면 $x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0$이 되므로, 원의 방정식은 일반적으로
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
꼴로도 나타낼 수 있다(일반형). 단, 이 식이 실제로 원이 되려면 $A^2+B^2-4C>0$이어야 한다.
원 위의 점 $(x,y)$는 항상 중심 $\mathrm{C}(a,b)$에서 같은 거리 $r$만큼 떨어져 있다. 두 점 사이의 거리 공식 $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$은 피타고라스 정리에서 나온 것인데, 이 거리를 $r$로 고정하고 양변을 제곱하면 바로 원의 방정식이 나온다. 즉 원의 방정식은 "중심에서 거리가 $r$로 일정하다"는 조건을 좌표로 번역한 것일 뿐이다.
중심이 $(2,-1)$이고 반지름이 $3$인 원의 방정식은
$$(x-2)^2+(y+1)^2=9$$
일반형으로 나타내면 $x^2+y^2-4x+2y-4=0$이다.
반대로 $x^2+y^2-6x+4y-3=0$이 주어졌다면, $x$와 $y$끼리 묶어 완전제곱식으로 고친다.
$$(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=3+9+4$$ $$(x-3)^2+(y+2)^2=16$$
따라서 중심 $(3,-2)$, 반지름 $4$인 원이다.
위 그래프는 $x^2+y^2=25$, 즉 중심 $(0,0)$, 반지름 $5$인 원을 위/아래 두 함수로 나타낸 것이다.
잘못된 생각: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$을 보고 중심을 $(-a,-b)$라고 착각한다. 왜 틀렸는가: 원의 방정식은 "$x$좌표가 $a$만큼, $y$좌표가 $b$만큼 이동"한 형태이므로 중심은 부호를 바꾸지 않은 $(a,b)$이다. 예를 들어 $(x+3)^2+(y-2)^2=4$의 중심은 $(-3, 2)$이지 $(3,-2)$가 아니다($x+3=x-(-3)$으로 봐야 한다).
잘못된 생각: 일반형 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$이 주어지면 무조건 원이라고 생각하고 반지름을 계산한다. 왜 틀렸는가: $A^2+B^2-4C \le 0$이면 원이 아니다($=0$이면 점 하나, $<0$이면 좌표평면 위에 아무 도형도 없다). 완전제곱식으로 바꿨을 때 우변이 양수인지 반드시 확인해야 한다.
잘못된 생각: 방정식에서 우변의 수 $r^2$을 그대로 반지름으로 쓴다. 왜 틀렸는가: $x^2+y^2=9$에서 반지름은 $9$가 아니라 $\sqrt{9}=3$이다. 우변은 반지름의 제곱이므로 제곱근을 취해야 한다.