문자와 식
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곱셈 (초등)정의
문자와 식이란 아직 정해지지 않은 수나 여러 가지 값을 가질 수 있는 수를 $x, y, a, b$와 같은 문자로 나타내고, 이 문자를 사용해서 수량 사이의 관계를 식으로 표현하는 것을 말한다. 문자에 특정한 수를 넣는 것을 대입한다고 하고, 대입한 후 계산한 결과를 그 식의 값이라고 한다.
문자를 사용한 식을 쓸 때는 다음 규칙을 따른다.
- 곱셈 기호 $\times$는 생략하고, 수는 문자 앞에 쓴다. 예: $x \times 3 = 3x$
- 같은 문자를 여러 번 곱할 때는 거듭제곱으로 쓴다. 예: $a \times a = a^2$ ($a$ 제곱이라고 읽는다)
- 나눗셈 기호 $\div$는 생략하지 않고 분수로 고쳐 쓴다. 예: $a \div b = \dfrac{a}{b}$
직관
문자는 "아직 모르는 수, 또는 값이 바뀔 수 있는 수를 담아 두는 그릇"이라고 생각하면 된다. 예를 들어 한 개에 500원인 지우개를 몇 개 사는지 모른다고 해서 계산을 포기할 수는 없다. 이럴 때 개수를 $x$라는 문자로 두면, 지우개의 가격을 항상 $500x$(원)라는 식 하나로 나타낼 수 있다. $x$ 자리에 3을 넣으면 1500원, 5를 넣으면 2500원이 된다. 즉 문자와 식은 숫자 하나하나를 따로 계산하는 대신, 관계 자체를 하나의 식으로 요약해 두는 도구다.
예시
예시 1. 한 자루에 700원인 볼펜 $a$자루의 가격을 문자를 사용한 식으로 나타내면 $700a$(원)이다. $a=4$이면 가격은 $700 \times 4 = 2800$원이다.
예시 2. $x=-2$일 때 $3x^2 - x$의 값을 구해 보자. 문자 자리에 $-2$를 그대로 대입하되, 반드시 괄호를 쳐서 넣는다.
$$3x^2-x = 3\times(-2)^2-(-2) = 3\times4+2 = 14$$
예시 3. 가로 길이가 $x$, 세로 길이가 5인 직사각형의 넓이는 $5x$이다. $x$가 늘어날수록 넓이가 어떻게 변하는지는 아래 그래프로 확인할 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
- 잘못된 생각: $a \times a$를 계수를 늘려 $2a$로 쓴다. → 왜 틀렸는가: 같은 문자를 곱하는 것은 계수가 아니라 지수로 나타내야 한다. $a \times a = a^2$이 맞고, $2a$는 $a+a$(또는 $2\times a$)를 뜻하는 전혀 다른 식이다.
- 잘못된 생각: $x=-3$일 때 $x^2$의 값을 $-3^2 = -9$로 계산한다. → 왜 틀렸는가: 문자에 음수를 대입할 때는 괄호로 묶어야 한다. $x^2$에 $x=-3$을 넣으면 $(-3)^2=9$이지, 부호를 뺀 $3^2$에 마이너스를 붙인 $-9$가 아니다.
- 잘못된 생각: 나눗셈 기호를 곱셈처럼 그냥 생략해서 $a \div b$를 $ab$로 쓴다. → 왜 틀렸는가: 나눗셈은 곱셈과 달리 기호를 생략할 수 없고, 반드시 분수 $\dfrac{a}{b}$로 바꾸어 써야 한다.
확인 문제
- 한 자루에 700원인 볼펜 $a$자루의 가격을 문자를 사용한 식으로 나타내시오.
- $x=-2$일 때, $3x^2-x$의 값을 구하시오.
- $a \times b \times 2 \div c$를 기호를 생략하여 나타내시오.
정답 보기
- $700a$(원). 한 자루의 가격 700원에 자루 수 $a$를 곱한 것이므로 $700 \times a = 700a$.
- $14$. $3\times(-2)^2-(-2) = 3\times4+2 = 14$ (대입할 때 $-2$를 괄호로 묶는 것이 핵심).
- $\dfrac{2ab}{c}$. 곱셈 기호는 생략하고 수를 앞에 쓰며, 나눗셈은 분수로 고친다.
관련 개념