Confirms this is a pure text-generation task (no file to edit in this run). I'll output the full revised document now.
문자와 식이란 아직 정해지지 않은 수나 여러 가지 값을 가질 수 있는 수를 $x, y, a, b$와 같은 문자로 나타내고, 이 문자를 사용해서 수량 사이의 관계를 식으로 표현하는 것을 말한다. 문자에 특정한 수를 넣는 것을 대입한다고 하고, 대입한 후 계산한 결과를 그 식의 값이라고 한다.
문자를 사용한 식을 쓸 때는 다음 규칙을 따른다.
문자는 "아직 모르는 수, 또는 값이 바뀔 수 있는 수를 담아 두는 그릇"이라고 생각하면 된다. 예를 들어 한 개에 500원인 지우개를 몇 개 사는지 모른다고 해서 계산을 포기할 수는 없다. 이럴 때 개수를 $x$라는 문자로 두면, 지우개의 가격을 항상 $500x$(원)라는 식 하나로 나타낼 수 있다. $x$ 자리에 3을 넣으면 1500원, 5를 넣으면 2500원이 된다. 즉 문자와 식은 숫자 하나하나를 따로 계산하는 대신, 관계 자체를 하나의 식으로 요약해 두는 도구다.
예시 1. 한 자루에 700원인 볼펜 $a$자루의 가격을 문자를 사용한 식으로 나타내면 $700a$(원)이다. $a=4$이면 가격은 $700 \times 4 = 2800$원이다.
예시 2. $x=-2$일 때 $3x^2 - x$의 값을 구해 보자. 문자 자리에 $-2$를 그대로 대입하되, 반드시 괄호를 쳐서 넣는다.
$$3x^2-x = 3\times(-2)^2-(-2) = 3\times4+2 = 14$$
예시 3. 가로 길이가 $x$, 세로 길이가 5인 직사각형의 넓이는 $5x$이다. $x$가 늘어날수록 넓이가 어떻게 변하는지는 아래 그래프로 확인할 수 있다.
휴대폰 요금제를 예로 들어 보자. 기본료가 3000원이고 데이터를 1GB 사용할 때마다 1000원이 추가된다면, 한 달에 사용한 데이터의 양을 $x$(GB)라는 문자로 두고 요금을 $3000+1000x$(원)이라는 하나의 식으로 나타낼 수 있다. 이렇게 식을 만들어 두면 $x$에 실제 사용량을 대입하기만 하면 되므로, 사용량이 2GB든 10GB든 매번 새로 계산 방법을 생각할 필요 없이 같은 식에 값만 바꿔 넣으면 요금을 구할 수 있다.
고대 그리스의 디오판토스는 방정식을 풀 때 미지수와 연산을 간단한 기호로 줄여 쓰는 방법을 사용했지만, 그 표기는 지금처럼 통일되어 있지 않았다. 이후 오랫동안 수학자들은 계산 과정을 문장으로 풀어 쓴 방식(수사적 대수)을 사용했는데, 문제가 복잡해질수록 문장이 너무 길어져 계산 실수가 잦았다. 16세기 말 프랑스의 프랑수아 비에트는 미지수뿐 아니라 이미 알고 있는 값(계수)까지도 문자로 나타내는 방법을 제안하여, 하나의 식으로 여러 문제를 한꺼번에 표현할 수 있게 했다. 17세기에 르네 데카르트는 알파벳 뒤쪽 문자($x, y, z$)는 모르는 값을, 앞쪽 문자($a, b, c$)는 이미 아는 값을 나타내는 오늘날의 관습을 정착시켰다. 이 표기법 덕분에 문자와 식은 특정한 숫자 문제를 넘어 일반적인 규칙을 나타내는 언어로 자리잡게 되었다.