# 문자와 식

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D

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## 정의

문자와 식이란 아직 정해지지 않은 수나 여러 가지 값을 가질 수 있는 수를 $x, y, a, b$와 같은 **문자**로 나타내고, 이 문자를 사용해서 수량 사이의 관계를 식으로 표현하는 것을 말한다. 문자에 특정한 수를 넣는 것을 **대입**한다고 하고, 대입한 후 계산한 결과를 그 식의 **값**이라고 한다.

문자를 사용한 식을 쓸 때는 다음 규칙을 따른다.

- 곱셈 기호 $\times$는 생략하고, 수는 문자 앞에 쓴다. 예: $x \times 3 = 3x$
- 같은 문자를 여러 번 곱할 때는 거듭제곱으로 쓴다. 예: $a \times a = a^2$ ($a$ 제곱이라고 읽는다)
- 나눗셈 기호 $\div$는 생략하지 않고 분수로 고쳐 쓴다. 예: $a \div b = \dfrac{a}{b}$

## 직관

문자는 "아직 모르는 수, 또는 값이 바뀔 수 있는 수를 담아 두는 그릇"이라고 생각하면 된다. 예를 들어 한 개에 500원인 지우개를 몇 개 사는지 모른다고 해서 계산을 포기할 수는 없다. 이럴 때 개수를 $x$라는 문자로 두면, 지우개의 가격을 항상 $500x$(원)라는 식 하나로 나타낼 수 있다. $x$ 자리에 3을 넣으면 1500원, 5를 넣으면 2500원이 된다. 즉 문자와 식은 숫자 하나하나를 따로 계산하는 대신, 관계 자체를 하나의 식으로 요약해 두는 도구다.

## 예시

**예시 1.** 한 자루에 700원인 볼펜 $a$자루의 가격을 문자를 사용한 식으로 나타내면 $700a$(원)이다. $a=4$이면 가격은 $700 \times 4 = 2800$원이다.

**예시 2.** $x=-2$일 때 $3x^2 - x$의 값을 구해 보자. 문자 자리에 $-2$를 그대로 대입하되, 반드시 괄호를 쳐서 넣는다.

$$3x^2-x = 3\times(-2)^2-(-2) = 3\times4+2 = 14$$

**예시 3.** 가로 길이가 $x$, 세로 길이가 5인 직사각형의 넓이는 $5x$이다. $x$가 늘어날수록 넓이가 어떻게 변하는지는 아래 그래프로 확인할 수 있다.


그래프: y=5*x (정의역 0~10)


## ⚠️ 흔한 실수

- **잘못된 생각**: $a \times a$를 계수를 늘려 $2a$로 쓴다. → **왜 틀렸는가**: 같은 문자를 곱하는 것은 계수가 아니라 지수로 나타내야 한다. $a \times a = a^2$이 맞고, $2a$는 $a+a$(또는 $2\times a$)를 뜻하는 전혀 다른 식이다.
- **잘못된 생각**: $x=-3$일 때 $x^2$의 값을 $-3^2 = -9$로 계산한다. → **왜 틀렸는가**: 문자에 음수를 대입할 때는 괄호로 묶어야 한다. $x^2$에 $x=-3$을 넣으면 $(-3)^2=9$이지, 부호를 뺀 $3^2$에 마이너스를 붙인 $-9$가 아니다.
- **잘못된 생각**: 나눗셈 기호를 곱셈처럼 그냥 생략해서 $a \div b$를 $ab$로 쓴다. → **왜 틀렸는가**: 나눗셈은 곱셈과 달리 기호를 생략할 수 없고, 반드시 분수 $\dfrac{a}{b}$로 바꾸어 써야 한다.

## 확인 문제

1. 한 자루에 700원인 볼펜 $a$자루의 가격을 문자를 사용한 식으로 나타내시오.
2. $x=-2$일 때, $3x^2-x$의 값을 구하시오.
3. $a \times b \times 2 \div c$를 기호를 생략하여 나타내시오.

정답 보기:

1. $700a$(원). 한 자루의 가격 700원에 자루 수 $a$를 곱한 것이므로 $700 \times a = 700a$.
2. $14$. $3\times(-2)^2-(-2) = 3\times4+2 = 14$ (대입할 때 $-2$를 괄호로 묶는 것이 핵심).
3. $\dfrac{2ab}{c}$. 곱셈 기호는 생략하고 수를 앞에 쓰며, 나눗셈은 분수로 고친다.



## 관련 개념

- 자연수, 정수와 유리수 — 문자 자리에 대입되는 수의 종류
- 곱셈, 나눗셈 — 문자식 표기 규칙(기호 생략, 분수 변환)의 바탕이 되는 연산
- 단항식과 다항식의 계산, 일차식의 계산 — 문자식을 더 복잡하게 계산하는 다음 단계
- 일차방정식, 부등식 — 문자와 식으로 관계를 나타낸 뒤 답을 구하는 단계
- 항등식 — 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 특별한 식

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관련 개념:
- 자연수 (/wiki/math/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%88%98)
- 정수와 유리수 (/wiki/math/%EC%A0%95%EC%88%98%EC%99%80_%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98)
- 곱셈 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88)
- 나눗셈 (/wiki/math/%EB%82%98%EB%88%97%EC%85%88)
- 단항식과 다항식의 계산 (/wiki/math/%EB%8B%A8%ED%95%AD%EC%8B%9D%EA%B3%BC_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)
- 일차식의 계산 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)
- 일차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 부등식 (/wiki/math/%EB%B6%80%EB%93%B1%EC%8B%9D)
- 항등식 (/wiki/math/%ED%95%AD%EB%93%B1%EC%8B%9D)