항등식(恒等式, identity)이란 문자를 포함한 등식에서, 그 문자에 어떤 값을 대입하더라도 (분모가 0이 되는 등 정의되지 않는 경우를 제외하고) 등식이 항상 성립하는 등식을 말한다.
예를 들어 등식 $ax+b=cx+d$가 모든 실수 $x$에 대하여 성립하면 이는 항등식이고, 이때 다음이 성립한다.
$$a=c,\quad b=d$$
이는 좌변과 우변이 다항식으로서 완전히 같음(계수가 모두 일치함)을 의미한다. 이것이 항등식의 성질을 다루는 핵심 원리이다.
이와 대조적으로 **방정식**은 문자에 특정한 값을 대입할 때에만 성립하는 등식이며, 그 값(해)을 구하는 것이 목적이다. 즉 항등식과 방정식은 같은 "등식"이라는 형태를 가지지만 그 의미와 다루는 방법이 서로 다르다.
항등식은 "항상 참인 등식"이다. 예를 들어 $(x+1)^2=x^2+2x+1$은 $x$에 어떤 수를 넣어도 성립한다. $x=3$이면 $16=16$, $x=-2$이면 $1=1$이다. 아무리 많은 값을 넣어 봐도 늘 참이 되는 이유는, 좌변과 우변이 사실 "같은 다항식"을 서로 다른 모양으로 적어 놓은 것이기 때문이다.
반면 $x+2=5$는 $x=3$일 때만 참이고 다른 값에서는 거짓이 된다. 이것이 방정식이다. 따라서 어떤 등식을 보고 "이 등식은 항등식인가, 방정식인가?"를 구분하는 것이 항등식 개념의 출발점이다.
항등식의 성질을 이용하면, 두 다항식이 모든 $x$에 대해 같다는 조건으로부터 미지의 계수를 결정할 수 있다. 이는 곱셈 공식이나 인수분해의 검증, 유리식의 부분분수 분해 등에서 자주 쓰인다.
두 다항식 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, $g(x)=b_nx^n+\cdots+b_1x+b_0$에 대해 등식 $f(x)=g(x)$가 $x$에 대한 항등식이면 다음이 성립한다.
$$a_n=b_n,\ a_{n-1}=b_{n-1},\ \dots,\ a_0=b_0$$
이를 이용해 미지의 계수를 구하는 대표적인 두 가지 방법이 있다.
두 방법 모두 항등식이 "임의의 $x$에 대해" 성립한다는 정의로부터 정당화된다.
예시 1. 등식 $2x+3=2x+3$은 좌변과 우변이 완전히 같으므로 항등식이다.
예시 2. 등식 $x^2+2x+1=(x+1)^2$이 항등식임을 계수비교법으로 확인해 보자. 좌변은 이미 전개되어 있고, 우변을 전개하면 $(x+1)^2=x^2+2x+1$이므로 양변의 계수가 모두 일치한다. 따라서 이는 항등식이다.
예시 3. 등식 $ax^2+bx+c=2x^2-3x+5$가 $x$에 대한 항등식일 때 $a,b,c$의 값을 구해 보자. 계수비교법에 의해
$$a=2,\quad b=-3,\quad c=5$$
예시 4. 등식 $a(x-1)+b(x+1)=4x+2$가 $x$에 대한 항등식일 때, 수치대입법으로 $a,b$를 구해 보자. $x=1$을 대입하면 $2b=6$이므로 $b=3$, $x=-1$을 대입하면 $-2a=-2$이므로 $a=1$이다.
아래 그래프는 $y=x^2+2x+1$과 $y=(x+1)^2$을 함께 나타낸 것으로, 두 식이 항등식 관계이므로 그래프가 완전히 겹쳐 하나의 곡선처럼 보인다.