단항식(單項式)은 수와 문자의 곱으로만 이루어진 식을 말한다. 예를 들어 $3x$, $-5xy^2$, $7$처럼 덧셈이나 뺄셈 기호 없이 곱으로만 연결된 식이다. 이때 문자 앞에 곱해진 수를 계수, 문자가 곱해진 개수(지수의 합)를 그 단항식의 차수라고 한다. 예를 들어 $-5xy^2$는 계수가 $-5$, 차수는 $x$가 1번 $y$가 2번 곱해져 있으므로 $1+2=3$이다.
다항식(多項式)은 단항식이 덧셈이나 뺄셈으로 여러 개 연결된 식이다. 예를 들어 $2x^2 + 3x - 5$는 $2x^2$, $3x$, $-5$라는 세 단항식(이를 항이라 한다)의 합으로 이루어져 있다. 다항식의 차수는 그 안에 있는 항들의 차수 중 가장 큰 값이다.
문자와 지수가 완전히 같은 항끼리는 동류항(同類項)이라 부르며, 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있다.
단항식과 다항식의 계산은 결국 "같은 종류끼리만 모아서 계산한다"는 규칙 하나로 요약된다. 사과 $3$개와 배 $2$개를 더해도 "사과+배 $5$개"라고 뭉뚱그려 쓸 수 없듯이, $x$와 $x^2$은 겉모습은 비슷해 보여도 서로 다른 종류의 양이라서 $3x + 2x^2$을 하나의 항으로 합칠 수 없다. 반면 $x$끼리, $x^2$끼리는 같은 종류이므로 개수(계수)만 더하면 된다.
곱셈은 조금 다르다. $x \times x$는 $x$가 2번 곱해진 것이므로 $x^2$이 되어, 곱셈에서는 오히려 지수가 늘어난다는 점을 기억해야 한다.
동류항끼리만 더할 수 있는 이유는 이미 배운 분배법칙 $ab+ac=a(b+c)$를 거꾸로 읽으면 보인다. $3x+2x$를 계산할 때, $3x$와 $2x$는 공통으로 $x$라는 문자를 인수로 갖고 있으므로
$$3x+2x = x\times 3 + x\times 2 = x\times(3+2) = 5x$$
처럼 공통 인수 $x$를 밖으로 묶어내는 것과 같다. 그렇다면 $3x^2+2x$도 같은 방법으로 묶일까? $3x^2 = x\times(3x)$, $2x = x\times 2$이므로 공통 인수는 $x$이지만, 남는 부분이 $3x$와 $2$로 서로 다르다.
$$3x^2+2x = x\times 3x + x\times 2 = x(3x+2)$$
즉 $x(3x+2)$처럼 인수로 묶어낼 수는 있어도, $3x$와 $2$가 같지 않으니 $5x$나 $5x^2$ 같은 하나의 단항식으로는 합쳐지지 않는다. 이것이 "차수가 다르면 동류항이 아니라서 더해지지 않는다"는 규칙의 실제 이유다.
곱셈에서 지수가 더해지는 이유는 지수의 정의, 즉 $x^n$이 $x$를 $n$번 곱한 것이라는 사실에서 바로 나온다. $x^2$은 $x$를 2번 곱한 것($x\times x$), $x^3$은 $x$를 3번 곱한 것($x\times x\times x$)이므로
$$x^2\times x^3 = (x\times x)\times(x\times x\times x)$$
이고, 괄호를 걷어내면 $x$가 모두 $2+3=5$번 곱해져 있다. 따라서
$$x^2\times x^3 = x^5$$
이 성립하며, 이를 일반화하면 $x^m\times x^n = x^{m+n}$이라는 지수법칙이 된다. 단항식끼리의 곱셈에서 지수를 더하는 것은 바로 이 사실을 그대로 적용한 것이고, 다항식과 단항식의 곱셈(예: $2x(x+3)$)은 분배법칙 $a(b+c)=ab+ac$을 한 번 더 적용해 단항식을 각 항에 나눠 곱하는 것에 불과하다.
덧셈·뺄셈: 동류항의 계수끼리만 더하거나 뺀다. $$3x + 2x = (3+2)x = 5x, \qquad 4x^2 - x^2 = (4-1)x^2 = 3x^2$$
단항식의 곱셈: 계수는 계수끼리 곱하고, 같은 문자는 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$($a$의 $m$제곱 곱하기 $a$의 $n$제곱은 $a$의 $(m+n)$제곱)을 이용해 지수를 더한다. $$(2x^2) \times (3x^3) = (2\times 3)\times x^{2+3} = 6x^5$$
다항식과 단항식의 곱셈: 분배법칙 $a(b+c) = ab+ac$를 이용해 단항식을 다항식의 모든 항에 각각 곱한다. $$2x(x+3) = 2x\times x + 2x\times 3 = 2x^2 + 6x$$
$5x^2y - 3xy^2 + 2x^2y = (5+2)x^2y - 3xy^2 = 7x^2y - 3xy^2$ ($x^2y$끼리만 동류항이므로 합쳐지고 $xy^2$은 그대로 남는다.)
$(-2x)^3 = (-2)^3 \times x^3 = -8x^3$ (계수와 문자에 각각 지수를 적용한다.)
$-x(3x - 4) = -x\times 3x - x\times(-4) = -3x^2 + 4x$
바닥 장판이나 도배지를 시공하는 업체는 방마다 치수가 다르기 때문에, 구체적인 숫자 대신 문자를 써서 넓이 공식을 미리 세워 둔다. 예를 들어 가로 길이가 $x$ m, 세로 길이가 $x+2$ m인 직사각형 방의 바닥 넓이는
$$x(x+2) = x^2+2x$$
로 미리 전개해 둘 수 있다. 이렇게 다항식 형태의 식을 한 번 만들어 두면, 실제 현장에서 방의 가로 길이 $x$값만 재서 대입하면 여러 집을 돌아다니며 매번 새로 계산하지 않고도 필요한 장판 넓이를 바로 구할 수 있다.
잘못된 생각: $3x + 2x^2$을 계산하면 $5x^3$이다. → 왜 틀렸는가: 덧셈에서는 지수를 더하지 않는다. $x$와 $x^2$은 차수가 달라 동류항이 아니므로 애초에 하나의 항으로 합칠 수 없다. 답은 그대로 $2x^2+3x$이다.
잘못된 생각: $x^2 \times x^3 = x^6$이다. → 왜 틀렸는가: 곱셈에서는 지수를 곱하는 것이 아니라 더한다. $x^2 \times x^3 = x^{2+3} = x^5$가 되어야 하며, $x^6$은 $(x^2)^3$을 계산할 때 나오는 결과와 혼동한 것이다.
잘못된 생각: $-(2x-3) = -2x - 3$이다. → 왜 틀렸는가: 앞의 $-$부호는 괄호 안 모든 항에 곱해져야 한다. $-1\times 2x = -2x$, $-1\times(-3) = +3$이므로 $-(2x-3) = -2x+3$이 옳다.
문자를 이용한 식 계산은 처음부터 지금과 같은 기호로 쓰이지 않았다. 3세기 무렵 디오판토스는 미지수와 그 거듭제곱을 나타내는 축약 기호를 처음 사용했고, 그전까지는 "어떤 수의 제곱에 어떤 수를 더한다"처럼 말로 풀어 쓰는 수사적 방식이 대부분이었다. 9세기 바그다드의 알콰리즈미는 방정식을 정리하고 옮기는 방법을 체계적으로 정리했는데, 이 책의 제목에 쓰인 "al-jabr"(옮기다·복원하다)라는 말이 오늘날 대수학(algebra)이라는 이름의 어원이 되었다. 16세기 프랑스의 프랑수아 비에트는 미지수뿐 아니라 계수까지 문자로 나타내는 표기법을 도입해, 여러 개의 항을 문자식으로 한꺼번에 다루는 지금의 다항식 표기의 토대를 마련했다. 이후 17세기 데카르트가 $x^2$, $x^3$과 같은 지수 표기를 정착시키면서, 단항식과 다항식을 계수·문자·지수로 나누어 계산하는 오늘날의 방식이 자리 잡았다.