단항식(單項式)은 수와 문자의 곱으로만 이루어진 식을 말한다. 예를 들어 $3x$, $-5xy^2$, $7$처럼 덧셈이나 뺄셈 기호 없이 곱으로만 연결된 식이다. 이때 문자 앞에 곱해진 수를 계수, 문자가 곱해진 개수(지수의 합)를 그 단항식의 차수라고 한다. 예를 들어 $-5xy^2$는 계수가 $-5$, 차수는 $x$가 1번 $y$가 2번 곱해져 있으므로 $1+2=3$이다.
다항식(多項式)은 단항식이 덧셈이나 뺄셈으로 여러 개 연결된 식이다. 예를 들어 $2x^2 + 3x - 5$는 $2x^2$, $3x$, $-5$라는 세 단항식(이를 항이라 한다)의 합으로 이루어져 있다. 다항식의 차수는 그 안에 있는 항들의 차수 중 가장 큰 값이다.
문자와 지수가 완전히 같은 항끼리는 동류항(同類項)이라 부르며, 동류항끼리만 더하거나 뺄 수 있다.
단항식과 다항식의 계산은 결국 "같은 종류끼리만 모아서 계산한다"는 규칙 하나로 요약된다. 사과 $3$개와 배 $2$개를 더해도 "사과+배 $5$개"라고 뭉뚱그려 쓸 수 없듯이, $x$와 $x^2$은 겉모습은 비슷해 보여도 서로 다른 종류의 양이라서 $3x + 2x^2$을 하나의 항으로 합칠 수 없다. 반면 $x$끼리, $x^2$끼리는 같은 종류이므로 개수(계수)만 더하면 된다.
곱셈은 조금 다르다. $x \times x$는 $x$가 2번 곱해진 것이므로 $x^2$이 되어, 곱셈에서는 오히려 지수가 늘어난다는 점을 기억해야 한다.
덧셈·뺄셈: 동류항의 계수끼리만 더하거나 뺀다. $$3x + 2x = (3+2)x = 5x, \qquad 4x^2 - x^2 = (4-1)x^2 = 3x^2$$
단항식의 곱셈: 계수는 계수끼리 곱하고, 같은 문자는 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$($a$의 $m$제곱 곱하기 $a$의 $n$제곱은 $a$의 $(m+n)$제곱)을 이용해 지수를 더한다. $$(2x^2) \times (3x^3) = (2\times 3)\times x^{2+3} = 6x^5$$
다항식과 단항식의 곱셈: 분배법칙 $a(b+c) = ab+ac$를 이용해 단항식을 다항식의 모든 항에 각각 곱한다. $$2x(x+3) = 2x\times x + 2x\times 3 = 2x^2 + 6x$$
$5x^2y - 3xy^2 + 2x^2y = (5+2)x^2y - 3xy^2 = 7x^2y - 3xy^2$ ($x^2y$끼리만 동류항이므로 합쳐지고 $xy^2$은 그대로 남는다.)
$(-2x)^3 = (-2)^3 \times x^3 = -8x^3$ (계수와 문자에 각각 지수를 적용한다.)
$-x(3x - 4) = -x\times 3x - x\times(-4) = -3x^2 + 4x$
잘못된 생각: $3x + 2x^2$을 계산하면 $5x^3$이다. → 왜 틀렸는가: 덧셈에서는 지수를 더하지 않는다. $x$와 $x^2$은 차수가 달라 동류항이 아니므로 애초에 하나의 항으로 합칠 수 없다. 답은 그대로 $2x^2+3x$이다.
잘못된 생각: $x^2 \times x^3 = x^6$이다. → 왜 틀렸는가: 곱셈에서는 지수를 곱하는 것이 아니라 더한다. $x^2 \times x^3 = x^{2+3} = x^5$가 되어야 하며, $x^6$은 $(x^2)^3$을 계산할 때 나오는 결과와 혼동한 것이다.
잘못된 생각: $-(2x-3) = -2x - 3$이다. → 왜 틀렸는가: 앞의 $-$부호는 괄호 안 모든 항에 곱해져야 한다. $-1\times 2x = -2x$, $-1\times(-3) = +3$이므로 $-(2x-3) = -2x+3$이 옳다.