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일차방정식(一次方程式)은 방정식에서 문자(미지수, 보통 $x$로 나타내며 "엑스"라고 읽는다)가 포함된 식을 정리했을 때, 그 차수(문자가 곱해진 횟수)가 1인 방정식을 말한다. 일반적인 꼴은 다음과 같다.
$$ax + b = 0 \quad (a \neq 0)$$
여기서 $a$, $b$는 상수(정해진 수)이고, $a \neq 0$이라는 조건이 꼭 필요하다. $a=0$이면 $x$가 사라져서 더 이상 "일차"가 아니기 때문이다. 이 방정식을 참으로 만드는 $x$의 값을 해 또는 근이라 하고, 해를 구하는 과정을 "방정식을 푼다"고 한다.
방정식은 저울과 같다. 등호($=$, "등호" 또는 "이퀄"이라 읽는다)를 기준으로 양쪽이 평형을 이루고 있다고 생각하면 된다. 저울 양쪽에서 똑같은 것을 더하거나 빼거나 곱해도 저울은 계속 수평을 유지한다. 일차방정식을 푼다는 것은, 이 저울의 균형을 유지하면서 한쪽에는 $x$만, 다른 쪽에는 숫자만 남을 때까지 양변을 정리하는 과정이다.
문자와 식을 배우면 어떤 식이든 같은 문자에 대해 정리할 수 있다는 것을(일차식의 계산) 안다. 그리고 방정식에서는 "양변에 같은 수를 더하거나 빼거나, 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 등식은 그대로 성립한다"는 등식의 성질을 이미 배웠다.
이제 $3x - 3 = x + 5$처럼 문자항이 양쪽에 흩어져 있는 식을 만났다고 하자. 이 상태로는 $x$가 얼마인지 한눈에 알 수 없다. 등식의 성질을 이용해 한쪽에는 문자항만, 다른 쪽에는 상수항만 남기고 싶다.
양변에서 $x$를 빼보자(등식의 성질: 양변에서 같은 것을 빼도 등식은 유지된다). $$3x - 3 - x = x + 5 - x$$ $$2x - 3 = 5$$
이제 양변에 3을 더한다. $$2x - 3 + 3 = 5 + 3$$ $$2x = 8$$
즉 원래 식의 우변에 있던 $x$항은 좌변으로 넘어오면서 부호가 $+x \to -x$로 바뀌었고, 좌변에 있던 상수항 $-3$은 우변으로 넘어오면서 $-3 \to +3$으로 바뀌었다. "이항"은 바로 이 두 단계(양변에서 빼기, 양변에 더하기)를 한 번에 처리하는 요령이다.
마지막으로 양변을 $x$의 계수 2로 나누면 $x = 4$를 얻는다. 이 과정을 문자 $a, b, c$로 일반화하면, 어떤 일차방정식이든 이항과 정리를 거쳐 결국
$$ax = c \quad\Rightarrow\quad ax - c = 0$$
꼴, 즉 $ax + b = 0$ (단 $b=-c$) 꼴로 정리되고, 양변을 $a$로 나누면 $x = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{b}{a}$라는 해를 얻는다. $a \neq 0$ 조건이 필요한 이유도 여기서 드러난다 — 만약 $a=0$이면 마지막에 0으로 나누어야 하므로 해를 구할 수 없다(또는 $x$ 자체가 없어져 방정식이 아니게 된다).
예시 1: $2x - 4 = 0$을 풀면, 이항하여 $2x = 4$, 양변을 2로 나누면 $x = 2$.
예시 2: $3(x-1) = x + 5$
일차방정식 $ax+b=0$의 해는 일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표와 같다. 예시 1의 경우 $y=2x-4$의 그래프가 $x$축을 지나는 점이 바로 해 $x=2$이다.
택시를 탈 때 기본요금이 3,800원이고 100m마다 100원씩 추가된다고 하자. 총 요금이 5,800원이 나왔다면 얼마나 이동했는지 구하고 싶을 때 일차방정식을 세운다. 이동 거리를 100m 단위로 $x$라 하면 $$3800 + 100x = 5800$$ 이 되고, 이항하여 $100x = 2000$, 즉 $x = 20$이므로 2,000m(2km)를 이동했다는 것을 알 수 있다. 이처럼 "한 단위당 얼마씩 늘어난다"는 요금-거리 관계는 대부분 일차방정식으로 표현된다.
잘못된 생각: 이항할 때 부호를 그대로 옮긴다. 예를 들어 $x+3=7$에서 $x=7+3$으로 계산해 $x=10$이라 답한다. 왜 틀렸는지: 이항은 양변에서 같은 수를 빼는 과정을 줄여 쓴 것이다. 양변에서 3을 빼야 하므로 $x=7-3=4$가 맞다. 등호를 넘어갈 때는 반드시 부호가 바뀐다.
잘못된 생각: 괄호를 풀 때 앞의 수를 첫째 항에만 곱한다. 예를 들어 $2(x-3)$을 $2x-3$으로 계산한다. 왜 틀렸는지: 분배법칙에 따라 괄호 안의 모든 항에 곱해야 하므로 $2(x-3)=2x-6$이 맞다.
잘못된 생각: 분수가 포함된 방정식 $\dfrac{x}{2}+1=3$에서 양변에 2를 곱하면서 $1$에는 곱하지 않고 $\dfrac{x}{2}$와 $3$에만 곱한다. 왜 틀렸는지: 등식의 성질은 "양변의 모든 항"에 같은 수를 곱해야 성립한다. 한 항이라도 빠뜨리면 저울의 균형(등호)이 깨져 잘못된 식이 된다. 올바르게는 $x+2=6$이 되어야 한다.
고대 이집트의 린드 파피루스(Rhind Papyrus)에는 미지의 양을 "아하(aha)"라 부르고 이를 구하는 문제들이 이미 등장했지만, 문자를 사용하지 않고 시행착오나 말로 풀이하는 방식이었다. 이후 9세기 무렵 페르시아의 수학자 알콰리즈미(al-Khwarizmi)는 저서에서 방정식의 한쪽에 있는 음수 항을 다른 쪽으로 옮겨 없애는 "알자브르(al-jabr)"와 양쪽의 같은 항을 정리해 없애는 "알무카발라(al-muqabala)"라는 두 가지 조작을 체계적으로 제시했다. 오늘날 "이항"이라 부르는 계산이 바로 이 알자브르에서 비롯되었고, "대수학(algebra)"이라는 이름도 al-jabr에서 나온 말이다. 이후 문자를 이용해 미지수를 표기하는 방식은 16~17세기 유럽에서 비에트(Viète)와 데카르트(Descartes) 등을 거치며 오늘날과 같은 $x$, $a$, $b$ 표기로 정착했다.