실수 $a$와 자연수 $n$에 대하여 $a$를 $n$번 곱한 것을 $a^n$($a$의 $n$제곱이라 읽는다)이라 한다. 이때 $a$를 밑, $n$을 지수라고 한다. 고등학교 과정에서는 이 지수의 범위를 자연수에서 정수, 유리수, 나아가 실수 전체로 확장한다.
자연수 지수는 "곱셈을 반복하는 것"이지만, $a^{-2}$이나 $a^{1/2}$은 무언가를 반복해서 곱한다는 그림으로는 설명되지 않는다. 그래서 고등학교에서 지수를 확장할 때 기준으로 삼는 것은 지수법칙이 계속 성립해야 한다는 요구다. 예를 들어 $a^2 \times a^0 = a^{2+0} = a^2$이 성립하려면 $a^0=1$이어야 하고, $a^{1/2} \times a^{1/2} = a^1 = a$가 성립하려면 $a^{1/2}$은 제곱해서 $a$가 되는 수, 즉 $\sqrt{a}$여야 한다. 즉 지수의 확장은 새로운 계산 규칙을 만드는 것이 아니라, 기존 지수법칙이 깨지지 않도록 값을 "역산"해서 채워 넣는 과정이다.
출발점은 자연수 지수에서만 확인할 수 있는 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ($m, n$은 자연수)이다. 이 식은 $a$를 $m$번 곱한 것과 $n$번 곱한 것을 이어 붙이면 $a$를 $(m+n)$번 곱한 것과 같다는, 곱셈 반복 횟수를 세는 사실에서 바로 나온다. 문제는 지수가 $0$이거나 음수, 분수가 되는 순간 "몇 번 곱한다"는 그림이 무너진다는 것이다. 그래서 값을 새로 정의하되, 이 지수법칙만은 계속 성립하도록 거꾸로 값을 맞춰 나간다.
1단계 — $a^0$ 정하기. 지수법칙에서 $n=0$을 넣으면 $$a^m \times a^0 = a^{m+0} = a^m$$ 이 되어야 한다. $a \neq 0$이므로 양변을 $a^m$으로 나누면 $$a^0 = 1$$ 이 유일하게 결정된다.
2단계 — $a^{-n}$ 정하기. 이번엔 지수법칙에서 두 지수의 합이 $0$이 되도록 $n$과 $-n$을 넣으면 $$a^n \times a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 = 1$$ 을 만족해야 한다. 즉 $a^{-n}$은 $a^n$과 곱해서 $1$이 되는 수, 다시 말해 $a^n$의 역수여야 하므로 $$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$ 으로 정의할 수밖에 없다.
3단계 — $a^{1/n}$ 정하기. 이번엔 $(a^r)^s = a^{rs}$ 법칙에서 $r = \dfrac{1}{n}$, $s=n$을 넣으면 $$\left(a^{1/n}\right)^n = a^{\frac{1}{n}\times n} = a^1 = a$$ 가 성립해야 한다. 즉 $a^{1/n}$은 "$n$제곱하면 $a$가 되는 수"여야 하는데, 그 수가 바로 $n$제곱근 $\sqrt[n]{a}$의 정의 그 자체다. 따라서 $$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$
4단계 — 일반 유리수 지수 $a^{m/n}$ 정하기. $(a^r)^s = a^{rs}$를 다시 이용해 $\dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{n}\times m$으로 쪼개면 $$a^{m/n} = \left(a^{1/n}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$$ 이 되어, 정의에서 제시한 $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$이 자연스럽게 얻어진다. 이처럼 지수의 확장은 매 단계에서 "이미 있는 지수법칙이 깨지지 않으려면 값이 무엇이어야 하는가"를 거꾸로 풀어낸 결과다.
$a>0$, $b>0$이고 $r, s$가 실수일 때 다음이 성립한다.
$$a^r a^s = a^{r+s}, \quad \dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \quad (a^r)^s = a^{rs}, \quad (ab)^r = a^r b^r$$
실수 지수로 확장하면 $y=2^x$처럼 매끄럽게 이어지는 그래프를 그릴 수 있다.
방사성 동위원소의 붕괴는 지수를 유리수로 확장해야 다룰 수 있는 대표적인 예다. 어떤 물질의 양이 반감기 $T$마다 절반으로 줄어든다면, 시간 $t$가 지난 뒤 남은 양은 $$N(t) = N_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$$ 로 나타낸다. 여기서 지수 $t/T$는 반감기의 정수배일 필요가 없다 — 예를 들어 반감기의 절반만큼 시간이 지났다면 지수는 $1/2$이 되고, 이때 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$처럼 유리수 지수 계산이 그대로 쓰인다. 자연수 지수만으로는 "반감기의 절반이 지났을 때 얼마가 남는가" 같은 질문에 답할 수 없기 때문에, 이런 계산은 지수를 유리수·실수까지 확장해야만 가능하다.
17세기 이전에는 거듭제곱을 $aa$, $aaa$처럼 문자를 반복해서 쓰거나 "제곱", "세제곱" 같은 말로 표현해서, 지수가 커질수록 표기가 번거롭고 계산 규칙을 일반화하기도 어려웠다. 프랑스 수학자 르네 데카르트는 1637년 저서 기하학(La Géométrie)에서 오늘날과 같은 $a^n$ 형태의 지수 표기를 도입해 반복 곱셈을 간단한 기호로 나타냈다. 이후 존 월리스는 이 표기를 밀고 나가 음수 지수와 분수 지수도 다룰 수 있음을 제시했고, 아이작 뉴턴은 1676년의 편지에서 이를 정리해 음수·분수 지수를 오늘날과 같은 방식으로 체계적으로 사용했다. 이러한 확장 덕분에 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱근이 모두 하나의 지수법칙 체계 안에서 통일되어 다뤄질 수 있게 되었다.