지수
대수
고등 · v1
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정의
실수 $a$와 자연수 $n$에 대하여 $a$를 $n$번 곱한 것을 $a^n$($a$의 $n$제곱이라 읽는다)이라 한다. 이때 $a$를 밑, $n$을 지수라고 한다. 고등학교 과정에서는 이 지수의 범위를 자연수에서 정수, 유리수, 나아가 실수 전체로 확장한다.
- 정수 지수: $a \neq 0$일 때 $a^0 = 1$, 그리고 자연수 $n$에 대해 $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$으로 정의한다.
- 유리수 지수: $a > 0$이고 $m$이 정수, $n$이 2 이상의 자연수일 때
$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$
로 정의한다. 여기서 $\sqrt[n]{a}$(엔제곱근 에이라 읽는다)는 $n$제곱하여 $a$가 되는 양수를 뜻한다. 특히 $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$이다.
- 실수 지수: 유리수 지수가 확장된 뒤, $a>0$이면 임의의 실수 지수 $a^x$도 (유리수로 한없이 가까이 근사하는 방식으로) 정의되며, 이 확장이 지수함수의 바탕이 된다.
직관
자연수 지수는 "곱셈을 반복하는 것"이지만, $a^{-2}$이나 $a^{1/2}$은 무언가를 반복해서 곱한다는 그림으로는 설명되지 않는다. 그래서 고등학교에서 지수를 확장할 때 기준으로 삼는 것은 지수법칙이 계속 성립해야 한다는 요구다. 예를 들어 $a^2 \times a^0 = a^{2+0} = a^2$이 성립하려면 $a^0=1$이어야 하고, $a^{1/2} \times a^{1/2} = a^1 = a$가 성립하려면 $a^{1/2}$은 제곱해서 $a$가 되는 수, 즉 $\sqrt{a}$여야 한다. 즉 지수의 확장은 새로운 계산 규칙을 만드는 것이 아니라, 기존 지수법칙이 깨지지 않도록 값을 "역산"해서 채워 넣는 과정이다.
성질 (지수법칙)
$a>0$, $b>0$이고 $r, s$가 실수일 때 다음이 성립한다.
$$a^r a^s = a^{r+s}, \quad \dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \quad (a^r)^s = a^{rs}, \quad (ab)^r = a^r b^r$$
예시
- $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$
- $8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$
- $27^{-2/3} = \dfrac{1}{27^{2/3}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2} = \dfrac{1}{9}$
- $2^x = \dfrac{1}{8}$의 해: $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$이므로 지수법칙에 의해 $x=-3$
실수 지수로 확장하면 $y=2^x$처럼 매끄럽게 이어지는 그래프를 그릴 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
- 잘못된 생각: $a^0 = 0$일 것이다 (지수가 없으니 값도 없다고 생각). → 왜 틀렸는가: 정의는 지수법칙 유지가 기준이다. $a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0$인데 좌변은 항상 $1$이므로 $a^0=1$($a\neq0$)이어야 한다.
- 잘못된 생각: $a^{-n} = -a^n$ (음의 지수를 부호를 바꾸는 것으로 착각). → 왜 틀렸는가: 음의 지수는 부호 반전이 아니라 역수를 의미한다. $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$이며, 예를 들어 $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$이지 $-8$이 아니다.
- 잘못된 생각: 지수가 유리수일 때도 자연수처럼 약분하면 된다고 생각해 $(-8)^{2/6} = (-8)^{1/3} = -2$로 계산. → 왜 틀렸는가: 유리수 지수는 밑이 양수일 때만 정의된다. $(-8)^{1/3}$처럼 밑이 음수인 유리수 지수는 고등 과정의 정의 범위 밖이며, 지수를 약분해도 값이 같아진다는 보장이 없다. 이 때문에 밑의 부호를 먼저 확인하지 않고 지수를 약분하면 모순된 값을 얻게 된다.
확인 문제
- $8^{-2/3}$의 값을 구하여라.
- $(ab^2)^{-2} \times a^3 b$을 지수법칙을 이용하여 간단히 하여라.
- $3^x = \dfrac{1}{9}$을 만족하는 $x$의 값을 구하여라.
정답 보기
- $8^{-2/3} = \dfrac{1}{8^{2/3}} = \dfrac{1}{(\sqrt[3]{8})^2} = \dfrac{1}{4}$
- $(ab^2)^{-2} \times a^3 b = a^{-2}b^{-4} \times a^3 b = a^{1}b^{-3} = \dfrac{a}{b^3}$
- $\dfrac{1}{9} = 3^{-2}$이므로 $x=-2$
관련 개념
- 실수 — 지수의 밑과 값이 속하는 수 체계
- 제곱근과 무리수 — 유리수 지수 정의의 바탕이 되는 제곱근 개념
- 지수함수 — 실수 지수를 변수로 갖는 함수
- 로그 — 지수의 역연산으로 정의되는 개념
- 로그함수 — 지수함수의 역함수