다항식(多項式, polynomial)은 유한 개의 단항식들을 덧셈으로 연결하여 나타낸 식이다. 여기서 단항식이란 수와 문자를 곱셈만으로 연결한 식(예: $3x^2$, $-5xy$, $7$)을 말한다.
한 문자 $x$에 대한 다항식은 일반적으로 다음과 같은 꼴로 나타낸다.
$$ a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_n \neq 0,\ n\text{은 음이 아닌 정수}) $$
이때 각 $a_k x^k$를 항, $a_k$를 $x^k$의 계수, $a_0$을 상수항이라 한다. 문자를 포함하지 않는 항이 상수항이며, 상수항만으로 이루어진 식(0 포함)도 다항식으로 취급한다.
다항식의 차수는 그 다항식에 있는 항들의 차수 중 가장 큰 값이다. 한 항의 차수는 그 항에 곱해진 문자의 개수(거듭제곱의 지수의 합)로 정한다. 예를 들어 $3x^2y$의 차수는 $2+1=3$이다. 문자가 하나뿐인 다항식을 일변수 다항식, 여러 개인 다항식을 다변수 다항식이라 한다.
문자와 차수가 같은 항을 동류항이라 하며, 다항식을 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 배열하는 것을 내림차순 정리, 그 반대를 오름차순 정리라 한다.
다항식은 사칙연산 중 나눗셈을 뺀 덧셈·뺄셈·곱셈만으로 문자와 수를 조합해서 만들 수 있는 가장 기본적인 식이다. 정수가 덧셈·뺄셈·곱셈에 대해 닫혀 있는 것처럼, 다항식들끼리 더하거나 빼거나 곱해도 그 결과는 항상 다항식이 된다. 이런 성질 때문에 다항식은 함수, 방정식, 부등식 등 여러 개념을 표현하는 공통 언어 역할을 하며, 이후 배우는 인수분해, 나머지정리, 이차방정식 등은 모두 다항식을 다루는 방법에서 출발한다.
또한 다항식의 차수는 그 식이 얼마나 "복잡한" 그래프나 변화를 나타내는지 가늠하는 척도이다. 차수가 높을수록 항의 개수와 가능한 변화의 굴곡이 늘어난다고 직관적으로 이해할 수 있다.
두 다항식 $f(x) = 2x^3 - x^2 + 5$, $g(x) = x^3 + 4x^2 - 3x$가 있을 때,
$3x^2y - xy^2 + 4x$처럼 문자가 두 개인 다항식도 있으며, 이 식에서 $3x^2y$의 차수는 $3$이므로 전체 다항식의 차수는 $3$이다.