다항식(多項式, polynomial)은 유한 개의 단항식들을 덧셈으로 연결하여 나타낸 식이다. 여기서 단항식이란 수와 문자를 곱셈만으로 연결한 식(예: $3x^2$, $-5xy$, $7$)을 말한다.
한 문자 $x$에 대한 다항식은 일반적으로 다음과 같은 꼴로 나타낸다.
$$ a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_n \neq 0,\ n\text{은 음이 아닌 정수}) $$
이때 각 $a_k x^k$를 항, $a_k$를 $x^k$의 계수, $a_0$을 상수항이라 한다. 문자를 포함하지 않는 항이 상수항이며, 상수항만으로 이루어진 식(0 포함)도 다항식으로 취급한다.
다항식의 차수는 그 다항식에 있는 항들의 차수 중 가장 큰 값이다. 한 항의 차수는 그 항에 곱해진 문자의 개수(거듭제곱의 지수의 합)로 정한다. 예를 들어 $3x^2y$의 차수는 $2+1=3$이다. 문자가 하나뿐인 다항식을 일변수 다항식, 여러 개인 다항식을 다변수 다항식이라 한다.
문자와 차수가 같은 항을 동류항이라 하며, 다항식을 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 배열하는 것을 내림차순 정리, 그 반대를 오름차순 정리라 한다.
다항식은 사칙연산 중 나눗셈을 뺀 덧셈·뺄셈·곱셈만으로 문자와 수를 조합해서 만들 수 있는 가장 기본적인 식이다. 정수가 덧셈·뺄셈·곱셈에 대해 닫혀 있는 것처럼, 다항식들끼리 더하거나 빼거나 곱해도 그 결과는 항상 다항식이 된다. 이런 성질 때문에 다항식은 함수, 방정식, 부등식 등 여러 개념을 표현하는 공통 언어 역할을 하며, 이후 배우는 인수분해, 나머지정리, 이차방정식 등은 모두 다항식을 다루는 방법에서 출발한다.
또한 다항식의 차수는 그 식이 얼마나 "복잡한" 그래프나 변화를 나타내는지 가늠하는 척도이다. 차수가 높을수록 항의 개수와 가능한 변화의 굴곡이 늘어난다고 직관적으로 이해할 수 있다.
지금까지 배운 단항식은 $3x^2$, $-5xy$처럼 곱셈만으로 이루어진 하나의 항이었다. 하지만 여러 개의 단항식을 덧셈으로 이어 붙인 식, 예를 들어 $2x^3-x^2+5x-7$ 같은 식은 단항식이라는 이름으로 부를 수 없다. 이런 식을 어떻게 정리해서 이름 붙일지 단계별로 생각해 보자.
먼저 문자 $x$에 대한 단항식들을 차수가 높은 것부터 낮은 것까지 순서대로 늘어놓고 덧셈으로 연결하면
$$ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 $$
과 같은 꼴이 만들어진다. 여기서 $a_n \neq 0$이라는 조건을 붙이는 이유가 있다. 만약 $a_n=0$이라면 $x^n$항은 실제로는 존재하지 않는 것과 같아서, 그 식의 진짜 차수는 $n$이 아니라 그보다 낮아진다. 즉 '가장 높은 차수 항의 계수가 $0$이 아니다'라는 조건은 그 식의 차수를 정확히 $n$으로 확정 짓기 위해 꼭 필요한 것이다. 이렇게 단항식 여러 개를 차수 순서로 나열해서 덧셈으로 연결한 식을 다항식이라 부르기로 한다.
이제 두 다항식을 더하거나 뺄 때 결과가 왜 여전히 다항식이 되는지 살펴보자. 덧셈·뺄셈은 같은 차수의 항, 즉 동류항끼리만 계수를 더하거나 뺄 수 있다. 예를 들어 $f(x)=2x^2+3x$, $g(x)=x^2-5x+1$이라면
$$ f(x)+g(x) = (2+1)x^2 + (3-5)x + 1 = 3x^2-2x+1 $$
이 되어, 결과도 항들이 차수 순서로 나열된 다항식의 꼴을 그대로 유지한다. $f, g$의 차수를 각각 $m, n$이라 하고 $m \ge n$이라 하면, 합에서 나올 수 있는 가장 높은 차수의 항은 $m$차항뿐이다(계수가 우연히 상쇄되면 그보다 낮아질 뿐 더 높아질 수는 없다). 그래서 $\deg(f+g) \le \max(\deg f, \deg g)$가 성립한다.
곱셈은 이와 다르게 움직인다. $f(x)=a_mx^m+\cdots$, $g(x)=b_nx^n+\cdots$ ($a_m \neq 0$, $b_n \neq 0$)를 분배법칙으로 하나하나 전개하면, $f$의 모든 항과 $g$의 모든 항을 짝지어 곱한 다음 모두 더하는 셈이 된다. 이때 나오는 항들 중 차수가 가장 큰 것은 $f$의 최고차항 $a_mx^m$과 $g$의 최고차항 $b_nx^n$을 곱한 $a_mb_nx^{m+n}$이다. 다른 모든 항은 둘 중 적어도 하나가 최고차항이 아닌 항이므로 차수가 $m+n$보다 작을 수밖에 없다. 그리고 $a_m \neq 0$, $b_n \neq 0$이므로 $a_mb_n \neq 0$이 되어 이 $m+n$차항은 계산 과정에서 사라지지 않고 실제로 살아남는다. 따라서 곱 $f(x)g(x)$의 차수는 정확히 $m+n$, 즉 $\deg(fg)=\deg f + \deg g$가 된다.
두 다항식 $f(x) = 2x^3 - x^2 + 5$, $g(x) = x^3 + 4x^2 - 3x$가 있을 때,
$3x^2y - xy^2 + 4x$처럼 문자가 두 개인 다항식도 있으며, 이 식에서 $3x^2y$의 차수는 $3$이므로 전체 다항식의 차수는 $3$이다.
정사각형 모양의 종이 한 변의 길이가 $x$일 때, 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 $2$인 정사각형을 잘라내고 접어 뚜껑 없는 상자를 만드는 상황을 생각해 보자. 상자의 밑면 한 변의 길이는 $x-4$, 높이는 $2$가 되므로 상자의 부피는
$$ V(x) = 2(x-4)^2 = 2x^2 - 16x + 32 $$
로 나타낼 수 있다. 이렇게 종이 크기 $x$ 하나만 정해지면 부피가 자동으로 정해지는데, 이 관계를 말이나 표로 나열하지 않고 $x$에 대한 다항식 하나로 압축해서 나타낼 수 있다는 점이 다항식의 실질적인 쓸모다. 실제로 상자·포장재 설계나 재료를 최소로 쓰면서 부피를 늘리는 문제는 이런 다항식을 이용해 풀린다.
잘못된 생각: $3x^2y$처럼 문자가 여러 개인 항의 차수를 구할 때, 차수가 가장 높아 보이는 문자 하나(예: $x^2$의 $2$)만 보고 항의 차수를 $2$라고 답한다. 왜 틀렸는지: 한 항의 차수는 그 항에 곱해진 모든 문자의 지수를 더한 값이다. $3x^2y$의 차수는 $x$의 지수 $2$와 $y$의 지수 $1$을 더한 $3$이지, $2$가 아니다.
잘못된 생각: 문자가 같으면 차수가 달라도 동류항으로 보고 $2x^2+3x$를 $5x^3$이나 $5x^2$처럼 하나의 항으로 합쳐 버린다. 왜 틀렸는지: 동류항은 문자뿐 아니라 그 문자의 차수까지 똑같아야 한다. $x^2$항과 $x$항은 차수가 달라서 더 이상 계산으로 합칠 수 없고, $2x^2+3x$는 그 자체로 더 간단히 정리되지 않는 다항식이다.
잘못된 생각: 두 다항식을 곱한 결과의 차수를 구할 때, 각 다항식 차수 중 큰 값을 그대로 답으로 쓴다(합이 아니라 최댓값으로 계산). 왜 틀렸는지: 덧셈·뺄셈에서는 차수가 최댓값을 넘지 않지만, 곱셈에서는 최고차항끼리 곱해지면서 지수가 더해지므로 $\deg(fg)=\deg f+\deg g$이다. 예를 들어 $2x^2$과 $3x^3-x$를 곱하면 차수는 $\max(2,3)=3$이 아니라 $2+3=5$가 된다.
문자와 지수를 이용한 오늘날의 다항식 표기법이 자리 잡기 전에는 방정식과 식을 대부분 말로 풀어 쓰는 방식으로 표현했기 때문에, 계산 과정을 적고 전달하는 데 매우 번거로웠다. 고대 그리스의 디오판토스는 미지수의 거듭제곱을 나타내는 약식 기호를 사용해 이런 식을 좀 더 간결하게 적었지만, 이는 사람마다 다르게 쓰이던 초기 단계의 표기였다. 16세기 프랑수아 비에트는 미지수와 계수를 각각 문자로 나타내는 방법을 제안해 문자를 이용한 식 표현의 기틀을 마련했고, 17세기 르네 데카르트는 저서 《기하학》에서 $x^2$, $x^3$과 같은 지수 표기와 오늘날과 비슷한 문자 사용 관례를 정착시켰다. 이 과정을 거치며 여러 항을 덧셈으로 연결한 식을 하나의 통일된 기호 체계로 쓸 수 있게 되었고, '다항식(polynomial)'이라는 이름도 '여럿'을 뜻하는 그리스어와 '항, 이름'을 뜻하는 라틴어가 합쳐져 만들어졌다.