Let me write the wiki article on 나머지정리 (Remainder Theorem) for high school level.
다항식 $f(x)$를 일차식 $x-a$로 나눈 나머지는 $f(a)$와 같다. 이것을 나머지정리라고 한다.
더 일반적으로, $f(x)$를 $x-a$로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$이라 하면 나눗셈의 원리에 의해 다음이 성립한다.
$$f(x) = (x-a)Q(x) + R$$
이 식의 양변에 $x=a$를 대입하면 $f(a) = (a-a)Q(a) + R = R$이므로, 나머지 $R$은 $f(a)$와 같음을 알 수 있다.
일차식 $ax+b$로 나눈 나머지의 경우에는 $f(x) = (ax+b)Q(x) + R$에서 $x = -\dfrac{b}{a}$를 대입하면 나머지 $R = f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$를 얻는다.
다항식을 $x-a$로 나누는 것은 자연수를 어떤 수로 나누는 것과 같은 구조를 가진다. 예를 들어 $17$을 $5$로 나누면 몫이 $3$, 나머지가 $2$인데, 이는 $17 = 5\times 3 + 2$로 쓸 수 있다. 다항식도 마찬가지로 $f(x) = (x-a)Q(x) + R$의 형태로 표현되고, 여기서 나머지 $R$은 $x$의 차수가 나누는 식보다 낮아야 하므로 상수가 된다.
핵심 아이디어는 "나머지를 구하기 위해 실제로 나눗셈을 계산할 필요가 없다"는 것이다. 등식 $f(x) = (x-a)Q(x) + R$에서 $x=a$를 대입하면 $Q(x)$가 곱해진 항이 통째로 사라지고 $R$만 남기 때문에, 단순히 $f(a)$를 계산하는 것만으로 나머지를 즉시 알 수 있다. 이는 인수분해에서 사용하는 다항식의 근과 밀접하게 연결되며, 특히 나머지가 $0$인 경우가 바로 $x-a$가 $f(x)$의 인수가 되는 경우다(이를 인수정리라 한다).
예시 1. $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$을 $x-2$로 나눈 나머지를 구하면,
$$f(2) = 2^3 - 2\times 2^2 + 3\times 2 - 1 = 8 - 8 + 6 - 1 = 5$$
따라서 나머지는 $5$이다.
예시 2. $f(x) = 2x^2 + x - 3$을 $2x-1$로 나눈 나머지를 구해 보자. $2x-1=0$에서 $x=\dfrac{1}{2}$이므로,
$$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2\times\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - 3 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-3 = -2$$
따라서 나머지는 $-2$이다.
예시 3. $f(x)$를 $x-1$로 나누면 나머지가 $3$, $x-2$로 나누면 나머지가 $5$일 때, $f(x)$를 $(x-1)(x-2)$로 나눈 나머지를 구해보자. 나머지를 $R(x) = px+q$로 놓으면 $f(1)=p+q=3$, $f(2)=2p+q=5$이고, 이를 연립하면 $p=2, q=1$이므로 나머지는 $R(x) = 2x+1$이다.