이 작업은 파일 저장이 아니라 문서 전체를 출력하는 것이 목적이므로, 아래에 완성된 문서 전체를 응답으로 제공한다.
곱셈 공식은 자주 나오는 다항식의 곱셈을 미리 전개해 둔 공식이다. 예를 들어 $(a+b)^2$($a$ 더하기 $b$의 제곱이라 읽는다)처럼 문자가 포함된 식의 곱을 매번 하나하나 분배법칙으로 계산하지 않고, 정해진 결과를 바로 쓸 수 있게 한 것이다.
대표적인 곱셈 공식은 다음과 같다.
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$ $$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$$ $$(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$$
곱셈 공식은 결국 일차식의 계산에서 배운 분배법칙을 반복해서 쓴 결과일 뿐이다. $(a+b)^2$을 넓이로 그려 보면 이해하기 쉽다. 한 변의 길이가 $a+b$인 정사각형은 한 변이 $a$인 정사각형, 한 변이 $b$인 정사각형, 그리고 $a\times b$ 직사각형 두 개로 나뉜다. 이 넓이를 모두 더하면 $a^2+2ab+b^2$이 되고, 이것이 바로 공식의 우변이다.
이 공식들을 외워 두면 복잡한 식을 빠르고 정확하게 전개할 수 있고, 거꾸로 인수분해를 할 때도 "어떤 곱셈 공식의 결과처럼 생겼는지"를 알아보는 데 쓰인다.
곱셈 공식은 새로운 규칙이 아니라, 단항식과 다항식의 계산에서 배운 분배법칙을 두 번 적용한 결과다. $(a+b)^2$부터 차근차근 풀어 보자.
1단계. 제곱의 정의대로 풀어 쓴다. $$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$$
2단계. 앞의 $(a+b)$를 하나의 덩어리로 보고, 뒤의 $(a+b)$의 두 항 $a$, $b$에 각각 분배법칙을 적용한다. $$(a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = (a^2+ab)+(ba+b^2)$$
3단계. $ab=ba$이므로 가운데 두 항을 더하면 $ab+ba=2ab$가 되어 $$a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2$$
이렇게 해서 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$이 나온다.
$(a-b)^2$은 $b$ 대신 $-b$를 넣기만 하면 된다. $$(a-b)^2 = (a+(-b))^2 = a^2+2a(-b)+(-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
$(a+b)(a-b)$도 같은 방식으로 분배법칙을 적용한다. $$(a+b)(a-b) = a(a-b)+b(a-b) = (a^2-ab)+(ba-b^2)$$ 이번에는 가운데 항이 $-ab+ba=0$이 되어 사라지고 $$a^2-ab+ba-b^2 = a^2-b^2$$ 만 남는다.
마지막으로 $(x+a)(x+b)$도 분배법칙으로 직접 전개해 보면 $$(x+a)(x+b) = x(x+b)+a(x+b) = x^2+bx+ax+ab$$ 이고, $bx+ax=(a+b)x$로 묶으면 $$x^2+(a+b)x+ab$$ 가 되어, $x^2$의 계수는 $1$, 일차항의 계수는 두 수의 합, 상수항은 두 수의 곱이라는 공식의 모양이 그대로 확인된다.
예시 1: $(x+3)^2$을 전개하면 $$(x+3)^2 = x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2 = x^2+6x+9$$
예시 2: $(2x-1)(2x+1)$을 전개하면 합차 공식을 쓴다. $$(2x-1)(2x+1) = (2x)^2-1^2 = 4x^2-1$$
예시 3: $(x+2)(x-5)$를 전개하면 $$(x+2)(x-5) = x^2+(2+(-5))x+2\times(-5) = x^2-3x-10$$
곱셈 공식으로 전개한 식은 결국 이차함수 $y=x^2-3x-10$과 같은 그래프로도 확인할 수 있다.
곱셈 공식은 큰 수의 곱셈을 암산으로 빠르게 처리할 때 실제로 쓰인다. 예를 들어 $95\times 105$를 바로 곱하려면 번거롭지만, $95=100-5$, $105=100+5$로 보면 합차 공식 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$을 그대로 적용할 수 있다. $$95\times 105 = (100-5)(100+5) = 100^2-5^2 = 10000-25 = 9975$$ 마찬가지로 $19^2$처럼 어중간한 수의 제곱도 $(20-1)^2=20^2-2\times 20\times 1+1^2=400-40+1=361$처럼 완전제곱 공식으로 암산할 수 있다. 이런 계산법은 계산기 없이 빠르게 어림하거나 검산할 때 실제로 쓰인다.
곱셈 공식에 해당하는 성질은 문자식이 없던 시절에도 이미 알려져 있었다. 고대 그리스의 유클리드는 기원전 300년경 저서 원론(Elements) 2권에서 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$에 해당하는 관계를, 정사각형과 직사각형의 넓이를 이용한 기하학적 도형으로 증명해 두었다. 당시에는 오늘날처럼 문자를 이용해 식을 쓰는 방법이 없었기 때문에, 모든 관계를 도형을 그려 설명해야 했다. 이후 16~17세기에 걸쳐 문자를 이용한 대수 표기법이 자리 잡으면서, 유클리드가 그림으로 증명했던 관계가 지금과 같은 $a^2+2ab+b^2$ 형태의 간결한 식으로 표현될 수 있게 되었다. 이 표기법 덕분에 학생들은 매번 도형을 그리지 않고도 곱셈 공식을 공식 그대로 외워 쓸 수 있게 되었다.