곱셈 공식
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정의
곱셈 공식은 자주 나오는 다항식의 곱셈을 미리 전개해 둔 공식이다. 예를 들어 $(a+b)^2$($a$ 더하기 $b$의 제곱이라 읽는다)처럼 문자가 포함된 식의 곱을 매번 하나하나 분배법칙으로 계산하지 않고, 정해진 결과를 바로 쓸 수 있게 한 것이다.
대표적인 곱셈 공식은 다음과 같다.
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
$$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$$
$$(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$$
직관
곱셈 공식은 결국 일차식의 계산에서 배운 분배법칙을 반복해서 쓴 결과일 뿐이다. $(a+b)^2$을 넓이로 그려 보면 이해하기 쉽다. 한 변의 길이가 $a+b$인 정사각형은 한 변이 $a$인 정사각형, 한 변이 $b$인 정사각형, 그리고 $a\times b$ 직사각형 두 개로 나뉜다. 이 넓이를 모두 더하면 $a^2+2ab+b^2$이 되고, 이것이 바로 공식의 우변이다.
이 공식들을 외워 두면 복잡한 식을 빠르고 정확하게 전개할 수 있고, 거꾸로 인수분해를 할 때도 "어떤 곱셈 공식의 결과처럼 생겼는지"를 알아보는 데 쓰인다.
성질
- $(a+b)^2$과 $(a-b)^2$은 가운데 항의 부호만 다르고, 항상 $a^2$, $b^2$과 가운데 항 $\pm 2ab$로 이루어진다.
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$은 "합과 차의 곱"으로, 가운데 항이 사라져 두 제곱의 차만 남는다.
- $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$에서 $x^2$의 계수는 항상 $1$이고, 일차항의 계수는 $a$와 $b$의 합, 상수항은 $a$와 $b$의 곱이다.
예시
예시 1: $(x+3)^2$을 전개하면
$$(x+3)^2 = x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2 = x^2+6x+9$$
예시 2: $(2x-1)(2x+1)$을 전개하면 합차 공식을 쓴다.
$$(2x-1)(2x+1) = (2x)^2-1^2 = 4x^2-1$$
예시 3: $(x+2)(x-5)$를 전개하면
$$(x+2)(x-5) = x^2+(2+(-5))x+2\times(-5) = x^2-3x-10$$
곱셈 공식으로 전개한 식은 결국 이차함수 $y=x^2-3x-10$과 같은 그래프로도 확인할 수 있다.
⚠️ 흔한 실수
- 잘못된 생각: $(a+b)^2 = a^2+b^2$이라고 계산한다. → 왜 틀렸는가: 넓이 그림에서 보듯 가운데 항 $2ab$(두 직사각형의 넓이 합)를 빠뜨린 것이다. 항상 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$처럼 세 항이 나와야 한다.
- 잘못된 생각: $(a-b)^2$을 전개할 때 가운데 항의 부호를 $+2ab$로 잘못 쓴다. → 왜 틀렸는가: $(a-b)^2=(a-b)(a-b)$를 분배법칙으로 직접 곱해 보면 $-ab-ab=-2ab$가 나온다. 부호를 헷갈리지 않으려면 직접 한 번 전개해 확인하는 습관이 필요하다.
- 잘못된 생각: $(x+a)(x+b)$를 전개할 때 상수항을 $a+b$로, 일차항 계수를 $ab$로 서로 바꿔 쓴다. → 왜 틀렸는가: 일차항은 두 수의 합($a+b$)이고 상수항은 두 수의 곱($ab$)이다. 이 둘을 뒤바꾸면 완전히 다른 식이 된다.
확인 문제
- $(3x+2)^2$을 전개하여라.
- $(x-4)(x+4)$를 전개하여라.
- $(x+6)(x-2)$를 전개하여라.
정답 보기
- $(3x+2)^2 = (3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2+2^2 = 9x^2+12x+4$
- 합차 공식을 쓰면 $(x-4)(x+4)=x^2-4^2=x^2-16$
- $(x+6)(x-2) = x^2+(6+(-2))x+6\times(-2) = x^2+4x-12$
관련 개념