서로 다른 $n$개에서 순서를 무시하고 $r$개를 뽑는 것을 조합이라 하고, 그 가짓수를 $_nC_r$ 또는 $\binom{n}{r}$로 쓴다:
$$_nC_r = \frac{_nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$
순열에서 순서 정보를 지운 것이다. $r$개를 뽑아 나열하는 $_nP_r$가지 중, 같은 구성원의 나열이 $r!$가지씩 겹치므로 $r!$로 나눈다. "대표 3명 뽑기"처럼 뽑힌 사람이 누구인지만 중요하고 자리 구분이 없는 상황이 조합이다. "순서가 중요한가?"라는 질문 하나가 순열과 조합을 가른다.
조합에서 가장 미심쩍은 부분은 **"왜 하필 $r!$로 나누는가"**다. 나눗셈이 갑자기 튀어나온 것처럼 느껴지는데, 실제로 세어 보면 자연스럽다. A, B, C 세 명 중 $2$명을 뽑는다고 하자. 순서까지 따지는 순열로 세면 AB, BA, AC, CA, BC, CB로 $6$가지다. 그런데 "대표 $2$명"으로 보면 AB와 BA는 같은 팀이다. 이렇게 같은 조합 하나가 순열에서는 $2$명을 줄 세우는 $2! = 2$가지로 부풀어 있다. 그래서 순열의 수를 $2!$로 나누면 부풀린 만큼을 정확히 걷어내 조합의 수($3$가지)가 된다.
실전에서 헷갈리는 건 "이 문제가 순서를 따지는가"를 판단하는 순간이다. 팁은 뽑은 대상들에 서로 다른 **이름표(자리·역할·등수)**가 붙는지 보는 것이다. 금·은·동메달이나 회장·부회장처럼 이름표가 있으면 순서를 따지는 순열, "당첨된 번호들"이나 "대표단"처럼 뽑힌 것들이 서로 대등하면 순서를 안 따지는 조합이다. 같은 숫자로 시작해도 이 판단 하나로 답이 몇 배씩 달라지니, 계산보다 이 구분을 먼저 확실히 하자.