# 다항식

분야: 대수
학교급: 중등
정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D

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## 정의

**다항식**(多項式, polynomial)은 유한 개의 **단항식**들을 덧셈으로 연결하여 나타낸 식이다. 여기서 단항식이란 수와 문자를 곱셈만으로 연결한 식(예: $3x^2$, $-5xy$, $7$)을 말한다.

한 문자 $x$에 대한 다항식은 일반적으로 다음과 같은 꼴로 나타낸다.

$$
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_n \neq 0,\ n\text{은 음이 아닌 정수})
$$

이때 각 $a_k x^k$를 **항**, $a_k$를 $x^k$의 **계수**, $a_0$을 **상수항**이라 한다. 문자를 포함하지 않는 항이 상수항이며, 상수항만으로 이루어진 식(0 포함)도 다항식으로 취급한다.

다항식의 **차수**는 그 다항식에 있는 항들의 차수 중 가장 큰 값이다. 한 항의 차수는 그 항에 곱해진 문자의 개수(거듭제곱의 지수의 합)로 정한다. 예를 들어 $3x^2y$의 차수는 $2+1=3$이다. 문자가 하나뿐인 다항식을 **일변수 다항식**, 여러 개인 다항식을 **다변수 다항식**이라 한다.

문자와 차수가 같은 항을 **동류항**이라 하며, 다항식을 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 배열하는 것을 **내림차순 정리**, 그 반대를 **오름차순 정리**라 한다.

## 직관

다항식은 사칙연산 중 나눗셈을 뺀 덧셈·뺄셈·곱셈만으로 문자와 수를 조합해서 만들 수 있는 가장 기본적인 식이다. 정수가 덧셈·뺄셈·곱셈에 대해 닫혀 있는 것처럼, 다항식들끼리 더하거나 빼거나 곱해도 그 결과는 항상 다항식이 된다. 이런 성질 때문에 다항식은 함수, 방정식, 부등식 등 여러 개념을 표현하는 공통 언어 역할을 하며, 이후 배우는 인수분해, 나머지정리, 이차방정식 등은 모두 다항식을 다루는 방법에서 출발한다.

또한 다항식의 차수는 그 식이 얼마나 "복잡한" 그래프나 변화를 나타내는지 가늠하는 척도이다. 차수가 높을수록 항의 개수와 가능한 변화의 굴곡이 늘어난다고 직관적으로 이해할 수 있다.

## 성질

- **닫혀 있음**: 두 다항식의 합, 차, 곱은 항상 다항식이다.
- **차수의 성질**: 다항식 $f(x), g(x)$에 대해
$$
\deg(f(x)+g(x)) \le \max(\deg f, \deg g), \qquad \deg(f(x)g(x)) = \deg f + \deg g
$$
- **동류항 정리**: 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리만 계산할 수 있다.
- **곱셈**: 분배법칙을 반복 적용하여 전개하며, 자주 쓰이는 전개 패턴은 곱셈 공식으로 정리된다.

## 예시

두 다항식 $f(x) = 2x^3 - x^2 + 5$, $g(x) = x^3 + 4x^2 - 3x$가 있을 때,

- $f(x)$의 차수는 $3$이고, $x^2$의 계수는 $-1$, 상수항은 $5$이다.
- 덧셈: $f(x)+g(x) = (2+1)x^3 + (-1+4)x^2 + (0-3)x + 5 = 3x^3+3x^2-3x+5$
- 뺄셈: $f(x)-g(x) = (2-1)x^3+(-1-4)x^2+(0+3)x+5 = x^3-5x^2+3x+5$
- 곱셈: $f(x)\cdot x = 2x^4 - x^3 + 5x$ (차수가 $3+1=4$로 늘어남을 확인할 수 있다.)

$3x^2y - xy^2 + 4x$처럼 문자가 두 개인 다항식도 있으며, 이 식에서 $3x^2y$의 차수는 $3$이므로 전체 다항식의 차수는 $3$이다.

## 관련 개념

- 문자와 식 — 문자를 사용해 식을 나타내는 기초 개념
- 단항식과 다항식의 계산 — 다항식의 덧셈·뺄셈·곱셈을 다루는 계산 방법
- 곱셈 공식 — 자주 쓰이는 다항식 전개 패턴
- 인수분해 — 다항식을 곱의 형태로 분해하는 과정
- 나머지정리, 이차방정식 — 다항식을 방정식·나눗셈 관점에서 다루는 후속 개념

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관련 개념:
- 인수분해 (/wiki/math/%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4)
- 나머지정리 (/wiki/math/%EB%82%98%EB%A8%B8%EC%A7%80%EC%A0%95%EB%A6%AC)
- 이차방정식 (/wiki/math/%EC%9D%B4%EC%B0%A8%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D)
- 곱셈 공식 (/wiki/math/%EA%B3%B1%EC%85%88_%EA%B3%B5%EC%8B%9D)
- 문자와 식 (/wiki/math/%EB%AC%B8%EC%9E%90%EC%99%80_%EC%8B%9D)
- 단항식과 다항식의 계산 (/wiki/math/%EB%8B%A8%ED%95%AD%EC%8B%9D%EA%B3%BC_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D%EC%9D%98_%EA%B3%84%EC%82%B0)