$a$가 $1$이 아닌 양수($a>0,\ a\neq 1$)일 때, 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수
$$f(x) = a^x$$
를 $a$를 밑으로 하는 지수함수라 한다. 여기서 지수 $x$는 자연수나 정수뿐 아니라 모든 실수를 대입할 수 있는데, 이는 유리수 지수 $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$의 정의를 실수 전체로 확장한 것이다.
밑의 조건 $a>0,\ a\neq 1$은 반드시 필요하다. $a\le 0$이면 $a^{1/2}$처럼 실수 값이 정의되지 않는 지수가 생기고, $a=1$이면 $f(x)=1^x=1$로 상수함수가 되어 함수의 증가·감소 성질 자체가 사라지기 때문이다.
지수함수는 "한 단계 나아갈 때마다 일정한 배수로 곱해지는" 변화를 나타내는 함수다. 예를 들어 박테리아가 1시간마다 2배로 늘어난다면, $x$시간 후의 개체 수(초깃값 1일 때)는 $2^x$이다. 덧셈으로 일정하게 늘어나는 일차함수와 달리, 지수함수는 곱셈으로 일정하게 늘어난다는 점이 핵심이다.
그래프로 보면 지수함수의 그래프는 항상 점 $(0,1)$을 지나고, $x$축($y=0$)을 점근선으로 가지면서 $x$축에 한없이 가까워지지만 결코 닿지 않는다. $a>1$이면 오른쪽으로 갈수록 가파르게 증가하고, $0<a<1$이면 오른쪽으로 갈수록 $0$에 가까워지며 감소한다.
지수함수의 정의역이 왜 실수 전체까지 넓어질 수 있는지는, 지수를 자연수 → 정수 → 유리수 → 실수로 한 단계씩 확장해 온 과정을 따라가 보면 알 수 있다.
1단계: 자연수 지수에서 출발. $n$이 자연수일 때 $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{개}}$이고, 여기서 지수법칙 $a^m a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$이 성립한다. 이 법칙은 곱해진 개수를 세는 것만으로 자연스럽게 얻어진다.
2단계: 지수를 $0$과 음의 정수로 확장. 지수가 $0$이거나 음수일 때는 "$a$를 몇 번 곱한다"는 셈으로는 설명할 수 없다. 그래서 반대로 접근한다 — 지수법칙 $a^m a^n = a^{m+n}$이 $n=0$일 때도 성립하도록 값을 정한다. $a^m \cdot a^0 = a^{m+0} = a^m$이 되어야 하므로 $a^0 = 1$로 정의한다. 같은 방식으로 $a^n \cdot a^{-n} = a^{0} = 1$이 성립해야 하므로 $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$으로 정의한다.
3단계: 지수를 유리수로 확장. 이번엔 $(a^m)^n = a^{mn}$이 유리수 지수에서도 성립하도록 정한다. $a^{p/q}$ ($p,q$는 정수, $q>0$)를 정의하려면 $\left(a^{p/q}\right)^q = a^{p}$가 성립해야 하므로, $a^{p/q}$는 $a^p$의 $q$제곱근이어야 한다. 즉
$$a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$$
로 정의한다. 이때 $q$가 짝수이면 $a^p$가 음수일 경우 실수인 제곱근이 존재하지 않으므로, 이 정의가 항상 성립하려면 $a>0$이어야 한다.
4단계: 지수를 실수 전체로 확장. 마지막 관문은 $\sqrt{2}=1.41421\cdots$처럼 유리수가 아닌 지수다. 무리수 $x$는 $1, 1.4, 1.41, 1.414, \dots$처럼 소수점 아래 자리를 늘려 가는 유리수들 $r_1, r_2, r_3, \dots$로 한없이 가까이 근사할 수 있다. $a>0$이면 $r$이 조금씩 변할 때 $a^r$의 값도 조금씩만 변하므로(값이 갑자기 튀지 않으므로), $r_n \to x$일 때 $a^{r_n}$의 값들도 어떤 하나의 값에 한없이 가까워진다. 이 극한값을 $a^x$로 정의하면, 지수함수 $f(x)=a^x$는 비로소 실수 전체를 정의역으로 갖게 된다.
이 과정을 거꾸로 보면 정의의 조건이 왜 필요한지 드러난다. $a\le 0$이면 3단계에서부터 짝수제곱근이 실수 범위를 벗어나 근사 자체가 불가능해지고, $a=1$이면 모든 유리수 지수에서 $1^{p/q}=1$로 값이 고정되어 4단계의 극한을 취해도 상수함수만 남는다. 그래서 지수함수가 의미 있게 증가하거나 감소하려면 $a>0,\ a\neq 1$이 반드시 필요하다.
예시 1. $f(x) = 2^x$일 때 $f(3) = 2^3 = 8$, $f(0) = 2^0 = 1$, $f(-2) = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$이다. $2>1$이므로 $f$는 증가함수이고, 실제로 $8 > 1 > \dfrac14$이다.
예시 2. $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$일 때 $g(3) = \dfrac{1}{8}$, $g(-2) = 2^2 = 4$이다. 밑이 $\dfrac12$로 $1$보다 작으므로 $g$는 감소함수이고, $x$가 커질수록 값이 작아진다.
예시 3. 방정식 $3^{x-1} = 27$을 풀면, $27 = 3^3$이므로 $x-1=3$, 즉 $x=4$이다. 밑이 같은 지수함수는 일대일대응이므로 지수만 비교해 풀 수 있다.
은행에서 연이율 $r$인 복리 예금에 원금 $a_0$원을 넣으면, $x$년 후의 원리금은 $a_0(1+r)^x$원이 된다. 이 식의 $(1+r)^x$ 부분이 바로 지수함수의 꼴이다. 예를 들어 연이율 5%로 100만 원을 예치하면 $x$년 후 원리금은 $100\times 1.05^x$만 원이 되는데, 매년 5만 원씩 일정하게 늘어나는 것이 아니라 그 시점의 원리금에 5%가 붙기 때문에 시간이 지날수록 늘어나는 양 자체가 커진다. 밑 $1+r$이 $1$보다 크므로 원리금이 시간에 따라 점점 더 가파르게 불어나는 것이며, 이것이 흔히 말하는 "복리 효과"의 수학적 정체다.
잘못된 생각: $y=2^x$와 $y=x^2$을 같은 종류의 함수로 생각한다. 왜 틀렸는지: $y=x^2$은 밑이 변수 $x$이고 지수가 상수 $2$인 다항함수(멱함수)이고, $y=2^x$은 밑이 상수 $2$이고 지수가 변수 $x$인 지수함수다. 증가 속도도 전혀 달라서, $x$가 커지면 $2^x$이 결국 $x^2$보다 훨씬 빠르게 커진다.
잘못된 생각: 밑 $a$의 조건을 신경 쓰지 않고 $a<0$이거나 $a=1$인 경우도 지수함수라고 생각한다. 왜 틀렸는지: $a=1$이면 $f(x)=1^x=1$은 항상 같은 값만 나오는 상수함수이지 증가·감소하는 지수함수가 아니다. 또 $a<0$이면 $a^{1/2}$과 같이 실수 범위에서 정의되지 않는 값이 생겨 함수 자체가 실수 전체에서 정의될 수 없다.
잘못된 생각: $y=a^{x-m}+n$의 그래프를 그릴 때 점근선을 여전히 $y=0$으로 놓는다. 왜 틀렸는지: 평행이동은 그래프 전체를 이동시키므로 점근선도 함께 이동한다. $y$축 방향으로 $n$만큼 이동했다면 점근선은 $y=n$이 되어야 하는데, 이를 놓치면 치역과 그래프 개형을 모두 잘못 판단하게 된다.
16~17세기 천문학과 항해술에서는 매우 큰 수들끼리의 곱셈과 나눗셈을 반복해야 했는데, 이 계산에 걸리는 시간이 관측 자체보다 오래 걸릴 정도로 큰 부담이었다. 스코틀랜드의 존 네이피어는 1614년에 로그표를 발표하며 곱셈을 덧셈으로 바꾸어 계산할 수 있는 방법을 제시했는데, 이는 지수와 로그가 서로 역함수 관계라는 사실에 뿌리를 두고 있다. 이후 18세기에 레온하르트 오일러가 지수함수와 로그함수를 하나의 함수 개념으로 체계적으로 정리하면서, 자연로그의 밑 $e$를 비롯한 오늘날의 지수함수 표기와 다루는 방식이 자리 잡았다.