$a$가 $1$이 아닌 양수($a>0,\ a\neq 1$)일 때, 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수
$$f(x) = a^x$$
를 $a$를 밑으로 하는 지수함수라 한다. 여기서 지수 $x$는 자연수나 정수뿐 아니라 모든 실수를 대입할 수 있는데, 이는 유리수 지수 $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$의 정의를 실수 전체로 확장한 것이다.
밑의 조건 $a>0,\ a\neq 1$은 반드시 필요하다. $a\le 0$이면 $a^{1/2}$처럼 실수 값이 정의되지 않는 지수가 생기고, $a=1$이면 $f(x)=1^x=1$로 상수함수가 되어 함수의 증가·감소 성질 자체가 사라지기 때문이다.
지수함수는 "한 단계 나아갈 때마다 일정한 배수로 곱해지는" 변화를 나타내는 함수다. 예를 들어 박테리아가 1시간마다 2배로 늘어난다면, $x$시간 후의 개체 수(초깃값 1일 때)는 $2^x$이다. 덧셈으로 일정하게 늘어나는 일차함수와 달리, 지수함수는 곱셈으로 일정하게 늘어난다는 점이 핵심이다.
그래프로 보면 지수함수의 그래프는 항상 점 $(0,1)$을 지나고, $x$축($y=0$)을 점근선으로 가지면서 $x$축에 한없이 가까워지지만 결코 닿지 않는다. $a>1$이면 오른쪽으로 갈수록 가파르게 증가하고, $0<a<1$이면 오른쪽으로 갈수록 $0$에 가까워지며 감소한다.
예시 1. $f(x) = 2^x$일 때 $f(3) = 2^3 = 8$, $f(0) = 2^0 = 1$, $f(-2) = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$이다. $2>1$이므로 $f$는 증가함수이고, 실제로 $8 > 1 > \dfrac14$이다.
예시 2. $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$일 때 $g(3) = \dfrac{1}{8}$, $g(-2) = 2^2 = 4$이다. 밑이 $\dfrac12$로 $1$보다 작으므로 $g$는 감소함수이고, $x$가 커질수록 값이 작아진다.
예시 3. 방정식 $3^{x-1} = 27$을 풀면, $27 = 3^3$이므로 $x-1=3$, 즉 $x=4$이다. 밑이 같은 지수함수는 일대일대응이므로 지수만 비교해 풀 수 있다.
잘못된 생각: $y=2^x$와 $y=x^2$을 같은 종류의 함수로 생각한다. 왜 틀렸는지: $y=x^2$은 밑이 변수 $x$이고 지수가 상수 $2$인 다항함수(멱함수)이고, $y=2^x$은 밑이 상수 $2$이고 지수가 변수 $x$인 지수함수다. 증가 속도도 전혀 달라서, $x$가 커지면 $2^x$이 결국 $x^2$보다 훨씬 빠르게 커진다.
잘못된 생각: 밑 $a$의 조건을 신경 쓰지 않고 $a<0$이거나 $a=1$인 경우도 지수함수라고 생각한다. 왜 틀렸는지: $a=1$이면 $f(x)=1^x=1$은 항상 같은 값만 나오는 상수함수이지 증가·감소하는 지수함수가 아니다. 또 $a<0$이면 $a^{1/2}$과 같이 실수 범위에서 정의되지 않는 값이 생겨 함수 자체가 실수 전체에서 정의될 수 없다.
잘못된 생각: $y=a^{x-m}+n$의 그래프를 그릴 때 점근선을 여전히 $y=0$으로 놓는다. 왜 틀렸는지: 평행이동은 그래프 전체를 이동시키므로 점근선도 함께 이동한다. $y$축 방향으로 $n$만큼 이동했다면 점근선은 $y=n$이 되어야 하는데, 이를 놓치면 치역과 그래프 개형을 모두 잘못 판단하게 된다.