미분계수

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정의

함수 $f(x)$가 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 하자. 극한

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

가 존재할 때, 이 값을 함수 $f$의 $x=a$에서의 **미분계수(differential coefficient)**라 하고 $f'(a)$($f$ 프라임 에이라고 읽는다)로 나타낸다. $\lim$(리미트)은 $h$가 $0$에 한없이 가까워질 때 뒤의 식이 가까워지는 값을 뜻한다.

위 식은 $x = a+h$로 치환하면

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

로도 쓸 수 있다. 이때 $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$는 두 점 $(a, f(a))$, $(x, f(x))$ 사이의 평균변화율이다. 미분계수는 이 평균변화율의 $x \to a$에서의 극한값, 즉 $x=a$에서의 순간변화율이다.

이 극한이 존재할 때 "$f$는 $x=a$에서 미분가능하다"고 말한다.

직관

자동차 계기판의 속도는 "지금 이 순간"의 빠르기를 나타낸다. 하지만 속도를 구하려면 원래 "어느 구간을 얼마의 시간에 이동했는가"를 재는 평균변화율에서 출발해야 한다. 구간을 점점 좁혀서 $a$와 $a+h$ 사이의 간격 $h$를 $0$에 가깝게 만들면, 평균의 빠르기가 "그 순간의 빠르기"로 좁혀진다. 미분계수는 바로 이 "구간의 평균을 한 점의 순간으로 좁히는" 극한 과정의 결과값이다.

기하적으로는 두 점을 잇는 **할선(secant line)**의 기울기가 평균변화율이고, $h \to 0$일수록 할선이 한 점에서의 **접선(tangent line)**에 가까워진다. 그래서 미분계수 $f'(a)$는 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서 그은 접선의 기울기와 같다.

성질

• 기하적 의미: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 기울기는 $f'(a)$이다. 따라서 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x-a)$이다.
• 미분가능성과 연속성: $f$가 $x=a$에서 미분가능하면 $f$는 $x=a$에서 연속이다. 그러나 역은 성립하지 않는다 — 연속이라고 해서 미분가능한 것은 아니다.
• 좌미분계수와 우미분계수: $h \to 0^-$, $h \to 0^+$일 때의 극한을 각각 좌미분계수, 우미분계수라 하며, 이 둘이 같아야만 $f'(a)$가 존재한다.

예시

$f(x) = x^2$의 $x=1$에서의 미분계수를 정의대로 구해 보자.

$$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2+h) = 2$$

따라서 곡선 $y=x^2$ 위의 점 $(1,1)$에서의 접선의 기울기는 $2$이고, 접선의 방정식은 $y - 1 = 2(x-1)$, 즉 $y = 2x - 1$이다.

🌍 실생활 예시

스포츠 중계에서 "지금 이 순간 시속 100km로 달리고 있다"는 순간 속도 표시는 GPS 위치 $x(t)$의 시간 $t$에 대한 미분계수 $x'(t)$를 계산한 값이다. 실제로는 아주 짧은 시간 간격 $h$ 동안의 평균 속력을 측정해 $h$를 매우 작게 만든 근사값을 순간 속도로 보여주는 것으로, 미분계수의 정의를 그대로 활용한 예다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: "미분계수도 그냥 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 아닌가?" → 이는 $x=a$에서 $x=b$까지의 평균변화율이다. 미분계수는 $b \to a$로 구간을 좁힌 극한값이므로, 구간의 평균과 한 점에서의 순간변화율은 다른 개념이다.
• 잘못된 생각: "연속이면 당연히 미분가능하다." → $f(x) = |x|$는 $x=0$에서 연속이지만, 좌미분계수는 $\lim_{h \to 0^-}\frac{|h|}{h} = -1$, 우미분계수는 $\lim_{h \to 0^+}\frac{|h|}{h} = 1$로 서로 달라 $x=0$에서 미분가능하지 않다. 연속은 미분가능의 필요조건일 뿐 충분조건이 아니다.
• 잘못된 생각: 극한을 계산할 때 $h=0$을 바로 대입해 $\frac{0}{0}$이 나오면 "미분계수가 존재하지 않는다"고 단정. → $\frac{0}{0}$ 꼴은 극한이 정의되지 않는다는 뜻이 아니라, 분자를 인수분해하거나 통분해 $h$를 약분한 뒤 극한을 구해야 한다는 신호다.

확인 문제

1. $f(x) = x^2$의 $x=3$에서의 미분계수 $f'(3)$을 정의($\lim_{h\to0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$)를 이용해 직접 구하시오.
2. $f(x) = |x|$가 $x=0$에서 미분가능하지 않은 이유를 좌미분계수와 우미분계수를 비교하여 설명하시오.
3. 어떤 물체의 위치가 $x(t) = t^2 + 3t$(단위: m, $t$는 초)로 주어질 때, $t=2$에서의 순간 속도를 미분계수의 정의로 구하고, 이것이 왜 "그 순간의 속도"를 뜻하는지 짧게 설명하시오. (이 문제를 풀면서 평균변화율을 좁혀가는 과정이 왜 순간변화율이 되는지 스스로 확인해 보자.)

관련 개념

• 함수의 극한 — 미분계수를 정의하는 극한 개념의 기초
• 함수의 연속 — 미분가능성과 연속성의 관계를 이해하는 데 필요
• 접선의 방정식 — 미분계수의 기하적 의미(접선의 기울기)를 활용
• 도함수 — 각 점에서의 미분계수를 함수로 확장한 개념
• 평균값 정리 — 미분계수와 평균변화율의 관계를 다루는 정리