일차함수

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정의

일차함수(一次函數)란 $y$가 $x$에 대한 일차식으로 나타나는 함수를 말한다. 즉,

$$y = ax + b \quad (a, b\text{는 상수}, \ a \neq 0)$$

꼴로 나타낼 수 있는 함수를 일차함수라고 한다. 여기서 $a$는 기울기(그래프가 얼마나 기울어졌는지 나타내는 값)라 하고, $b$는 $y$절편($x=0$일 때의 $y$값, 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표)이라 한다. $a \neq 0$이라는 조건이 중요한데, 만약 $a=0$이면 $y=b$가 되어 $x$값에 관계없이 $y$가 항상 일정한 상수함수가 되므로 일차함수라고 하지 않는다.

직관

일차함수는 "$x$가 1만큼 늘어날 때마다 $y$가 항상 같은 양만큼 늘어나거나 줄어드는 관계"라고 생각하면 된다. 예를 들어 매분 2 L씩 물이 채워지는 물탱크가 있고 처음에 물이 3 L 있었다면, $x$분 후 물의 양 $y$는 $y = 2x + 3$으로 나타난다. 시간이 지날수록 물의 양이 일정한 비율로 늘어나기 때문에, 이 관계를 좌표평면에 그리면 항상 곧은 직선이 된다. 그래서 "일차함수의 그래프는 직선이다"라는 성질이 나온다. 정비례와 반비례에서 배운 $y=ax$ 역시 $b=0$인 일차함수의 특수한 경우로 볼 수 있다.

성질

• 그래프: 일차함수 $y=ax+b$의 그래프는 기울기가 $a$이고 $y$절편이 $b$인 직선이다.
• 기울기 $a$의 부호: $a>0$이면 $x$값이 커질수록 $y$값도 커지는 증가함수이고(그래프가 오른쪽 위로 향함), $a<0$이면 $x$값이 커질수록 $y$값은 작아지는 감소함수이다(그래프가 오른쪽 아래로 향함).
• 기울기 구하는 법: 두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기는 $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \ (\text{y의 증가량 나누기 x의 증가량})$$
• $x$절편: $y=0$일 때의 $x$값으로, 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표이다.

예시

기울기가 $2$이고 $y$절편이 $1$인 일차함수 $y=2x+1$을 생각해 보자.

• $x=0$일 때 $y=1$ (이 점이 $y$절편)
• $x=1$일 때 $y=2(1)+1=3$
• $x=-1$일 때 $y=2(-1)+1=-1$

$x$절편은 $y=0$을 대입해 구한다: $0=2x+1$에서 $x=-\dfrac{1}{2}$.

위 그래프에서 $y=2x+1$은 기울기가 양수라서 오른쪽 위로 올라가고, $y=-x+2$는 기울기가 음수라서 오른쪽 아래로 내려가는 것을 확인할 수 있다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: $y=3$처럼 $x$가 없는 식도 일차함수라고 생각한다. → 왜 틀렸는가: $y=3$은 $y=0\cdot x+3$ 꼴이므로 $a=0$이다. 일차함수의 정의에는 $a\neq0$ 조건이 반드시 필요하며, $a=0$인 경우는 상수함수라고 부른다.
• 잘못된 생각: $y=2x+5$에서 $5$를 기울기, $2$를 $y$절편으로 헷갈려 말한다. → 왜 틀렸는가: $x$의 계수가 기울기 $a$이고, 상수항이 $y$절편 $b$이다. 자리를 바꿔 외우면 그래프의 방향과 절편을 모두 잘못 그리게 된다.
• 잘못된 생각: 두 점 $(1,2)$, $(3,8)$의 기울기를 구할 때 $\dfrac{3-1}{8-2}$처럼 분자와 분모를 거꾸로 넣는다. → 왜 틀렸는가: 기울기는 (y의 증가량)/(x의 증가량), 즉 $\dfrac{8-2}{3-1}=3$이다. $x$증가량과 $y$증가량의 순서를 바꾸면 기울기가 완전히 다른 값이 된다.

확인 문제

1. 일차함수 $y=-3x+4$의 기울기와 $y$절편을 각각 구하시오.
2. 두 점 $(2,1)$, $(5,10)$을 지나는 직선의 기울기를 구하시오.
3. 일차함수 $y=4x-8$의 $x$절편을 구하시오.

관련 개념

• 함수
• 정비례와 반비례
• 평면좌표
• 일차방정식
• 직선의 방정식
• 연립일차방정식
• 이차함수