일차함수(一次函數)란 $y$가 $x$에 대한 일차식으로 나타나는 함수를 말한다. 즉,
$$y = ax + b \quad (a, b\text{는 상수}, \ a \neq 0)$$
꼴로 나타낼 수 있는 함수를 일차함수라고 한다. 여기서 $a$는 기울기(그래프가 얼마나 기울어졌는지 나타내는 값)라 하고, $b$는 $y$절편($x=0$일 때의 $y$값, 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표)이라 한다. $a \neq 0$이라는 조건이 중요한데, 만약 $a=0$이면 $y=b$가 되어 $x$값에 관계없이 $y$가 항상 일정한 상수함수가 되므로 일차함수라고 하지 않는다.
일차함수는 "$x$가 1만큼 늘어날 때마다 $y$가 항상 같은 양만큼 늘어나거나 줄어드는 관계"라고 생각하면 된다. 예를 들어 매분 2 L씩 물이 채워지는 물탱크가 있고 처음에 물이 3 L 있었다면, $x$분 후 물의 양 $y$는 $y = 2x + 3$으로 나타난다. 시간이 지날수록 물의 양이 일정한 비율로 늘어나기 때문에, 이 관계를 좌표평면에 그리면 항상 곧은 직선이 된다. 그래서 "일차함수의 그래프는 직선이다"라는 성질이 나온다. 정비례와 반비례에서 배운 $y=ax$ 역시 $b=0$인 일차함수의 특수한 경우로 볼 수 있다.
정비례 관계 $y=ax$는 $x$가 $0$일 때 $y$도 $0$이 되는 특수한 경우였다. 그런데 실제 상황에서는 처음부터 $0$이 아닌 값에서 출발하는 경우가 많다. 예를 들어 물통에 이미 물이 $b$ L 들어 있고, 그 뒤로 $1$분마다 $a$ L씩 일정하게 물이 늘어난다고 하자.
즉 $x$분이 지나면 $a$를 $x$번 더한 것이므로
$$y = b + a\cdot x = ax+b$$
가 된다. 여기서 $a$는 "$x$가 $1$ 늘어날 때마다 $y$가 늘어나는 일정한 양"이므로 기울기이고, $b$는 "출발할 때($x=0$일 때)의 값"이므로 $y$절편이다. 이렇게 "일정한 양만큼 변하되 처음 값이 $0$이 아닐 수도 있는" 관계를 정리하면 $y=ax+b\ (a\neq0)$ 꼴이 되는데, 이것이 바로 일차함수의 정의다.
기울기가 $2$이고 $y$절편이 $1$인 일차함수 $y=2x+1$을 생각해 보자.
$x$절편은 $y=0$을 대입해 구한다: $0=2x+1$에서 $x=-\dfrac{1}{2}$.
위 그래프에서 $y=2x+1$은 기울기가 양수라서 오른쪽 위로 올라가고, $y=-x+2$는 기울기가 음수라서 오른쪽 아래로 내려가는 것을 확인할 수 있다.
휴대폰 요금제를 생각해 보자. 기본료가 $10000$원이고, 그 위에 데이터 $1$GB를 쓸 때마다 $2000$원씩 추가되는 요금제라면, 그달 사용한 데이터량 $x$(GB)에 대한 요금 $y$(원)는
$$y = 2000x + 10000$$
으로 나타난다. 여기서 $10000$은 데이터를 하나도 안 써도 내야 하는 기본료(y절편)이고, $2000$은 데이터가 $1$GB 늘어날 때마다 요금이 늘어나는 비율(기울기)이다. 통신사가 요금제를 안내할 때 "기본료 + GB당 요금" 형태로 설명하는 것이 바로 이 일차함수 구조이며, 이 식을 알면 데이터를 $5$GB 쓸 때 요금이 얼마일지 그래프나 식으로 미리 예측할 수 있다.
옛날에는 "일정한 비율로 변하는 양"을 표나 말로만 나타냈고, 그 관계를 한눈에 볼 수 있는 방법이 마땅치 않았다. 17세기에 데카르트가 좌표평면을 이용해 수와 도형을 연결하는 방법을 고안하면서, $y=ax+b$처럼 대수식으로 나타낸 관계를 직선이라는 도형으로 눈으로 확인할 수 있게 되었다. 이후 함수라는 개념과 표기법이 다듬어지면서, $x$와 $y$가 일정한 비율로 함께 변하는 관계를 일차함수라는 이름으로 부르게 되었고, 기울기와 $y$절편이라는 용어도 그래프를 설명하는 과정에서 자리 잡았다.