삼각함수(trigonometric function)는 좌표평면에서 원점을 중심으로 하는 반지름 $1$인 원(단위원) 위의 점의 좌표를 각 $\theta$(세타라 읽는다)에 대응시키는 함수다. $x$축의 양의 방향을 시초선으로 하고 각 $\theta$만큼 회전한 반직선(동경)이 단위원과 만나는 점을 $(x, y)$라 할 때,
$$\sin\theta = y, \qquad \cos\theta = x, \qquad \tan\theta = \dfrac{y}{x}\ (x \neq 0)$$
로 정의한다. $\sin$(사인), $\cos$(코사인), $\tan$(탄젠트)은 삼각비에서 배운 "직각삼각형 변의 비"를 $0°\sim 90°$ 예각을 넘어 $0°$ 이상 $360°$ 이상까지, 나아가 음의 각·일반각까지 확장한 것이다. 각의 크기는 도(°) 또는 라디안으로 나타내며, 라디안은 호의 길이를 반지름으로 나눈 값이다.
삼각비는 직각삼각형 안, 즉 $0°$에서 $90°$ 사이의 각에서만 정의됐다. 그런데 회전하는 대관람차, 흔들리는 그네, 시간에 따라 바뀌는 교류전류처럼 "각이 90°를 넘어가거나 한 바퀴 돌고 다시 반복되는" 현상을 다루려면 삼각비만으로는 부족하다.
이때 단위원을 이용하면 각을 아무리 크게 돌려도(또는 음의 방향으로 돌려도) 항상 좌표 하나가 대응된다 — 그 좌표의 $y$성분이 사인, $x$성분이 코사인이다. 즉 삼각함수는 "각(회전량)을 입력하면 단위원 위 점의 좌표를 출력하는 함수"로 이해하면 된다. 각이 $360°$ 늘어나면 원을 한 바퀴 돌아 제자리로 돌아오므로 같은 좌표가 그대로 반복된다 — 이 반복성이 삼각함수의 '주기성'이다.
삼각비를 배울 때 사인·코사인은 늘 양수였다. 그래서 처음 삼각함수를 만나면 "왜 갑자기 음수가 나오지?" 하는 지점에서 걸린다. 이유는 단순하다 — 삼각비는 직각삼각형의 변의 '길이'의 비였지만, 삼각함수는 단위원 위 점의 '좌표'다. 좌표는 사분면에 따라 부호가 바뀐다. 2사분면(각이 $90°\sim180°$)이면 $x<0$이라 코사인이 음수, 3사분면이면 $x, y$ 둘 다 음수라 사인·코사인 모두 음수가 된다. 부호를 외우기보다 "지금 이 각이 단위원의 어느 사분면에 있는지"를 그려보는 습관을 들이면 헷갈리지 않는다.
일상 비유로는 대관람차가 편하다. 관람차가 회전할 때 좌석의 좌우 위치를 $x$, 지면 기준 높이(중심 기준 상대 높이)를 $y$라고 생각해보자. 출발점(오른쪽 끝, 시초선)에서 반시계 방향으로 돌기 시작하면, 좌석은 처음엔 위로 올라가다가($y$ 증가) 꼭대기를 지나 반대편으로 가면서 $x$가 음수가 되고, 바닥 쪽에 가면 $y$도 음수가 된다. 이 좌석의 움직임 하나하나가 바로 $(\cos\theta, \sin\theta)$의 궤적이다.
흔히 하는 착각 하나만 더 짚자면, 탄젠트가 "모든 각에서 정의된다"고 생각하는 것이다. 탄젠트는 $y/x$이므로 $x=\cos\theta=0$이 되는 각(90°, 270° 등)에서는 분모가 $0$이 되어 정의되지 않는다. 핵심은 하나다 — 삼각함수는 각을 넣으면 단위원 좌표가 나오는 함수이고, 부호는 사분면이 정하며, 분모($\cos\theta$)가 $0$이면 탄젠트는 존재하지 않는다.
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
이 항등식은 이후 삼각방정식을 풀 때도 핵심 도구로 쓰인다.
특수각은 계산기 없이도 값이 정확히 나온다.
삼각함수는 각을 직접 재기 어려운 거리·높이를 구하는 삼각측량에 쓰인다. 나무의 높이를 직접 잴 수 없을 때, 나무에서 $20\text{ m}$ 떨어진 지점에 서서 나무 꼭대기를 올려다본 각(앙각)이 $30°$였고, 관측자의 눈높이가 $1.5\text{ m}$였다고 하자. 눈높이를 기준으로 한 삼각형에서
$$\tan 30° = \frac{\text{눈높이 위의 나무 높이}}{20}$$
이므로 눈높이 위의 나무 높이는 $20 \times \tan 30° = 20 \times \dfrac{1}{\sqrt3} \approx 20 \times 0.5774 \approx 11.55\text{ m}$이고, 여기에 관측자의 눈높이 $1.5\text{ m}$를 더하면 나무의 전체 높이는 $\approx 11.55 + 1.5 = 13.05\text{ m}$로 추정할 수 있다. 이렇게 직접 재기 힘든 대상의 높이·거리를 각과 밑변만으로 구하는 방법은 건물 높이 측정, 지도 제작, GPS가 없던 시절의 항해·측량에서 실제로 쓰여 온 방법이다.