로그함수(logarithmic function)는 밑을 $a$ ($a>0$, $a \neq 1$)로 하는 지수함수 $y=a^x$의 역함수로, 다음과 같이 정의된다.
$$y = \log_a x \quad (a>0,\ a\neq 1,\ x>0)$$
여기서 $\log_a x$는 "로그 밑 $a$ $x$" 또는 "$a$를 밑으로 하는 $x$의 로그"라 읽으며, $a^y = x$를 만족시키는 $y$의 값을 뜻한다. 이때 $x$를 진수라 하며, 로그함수가 정의되려면 반드시 $x>0$이어야 한다.
지수함수 $y=a^x$는 "밑을 몇 번 곱했을 때 얼마가 되는가"를 계산하는 함수다. 로그함수는 거꾸로 "얼마가 되려면 밑을 몇 번 곱해야 하는가"를 계산하는 함수라고 생각하면 된다. 예를 들어 $2^3=8$이라는 사실을 뒤집으면 $\log_2 8 = 3$이 된다. 즉 로그함수의 그래프는 지수함수 $y=a^x$의 그래프를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 모양이 된다.
$\log_2 8$의 값을 구해보자. $2^3=8$이므로 $\log_2 8=3$이다.
$\log_{\frac{1}{2}} 4$의 값도 구해보자. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4$이므로 $\log_{\frac{1}{2}} 4=-2$이다. 밑이 1보다 작으므로 이 함수는 감소함수이고, 진수가 커질수록 함숫값은 작아진다.
밑이 2인 로그함수 $y=\log_2 x$의 그래프는 다음과 같다 (자연로그 비율로 표현, $\log_2 x=\dfrac{\ln x}{\ln 2}$).
잘못된 생각: 로그함수도 다항함수처럼 정의역이 실수 전체라고 생각한다. 왜 틀렸는지: 진수조건 $x>0$을 만족해야 로그값이 정의된다. $\log_a x$에서 $x\le 0$이면 애초에 $a^y=x$를 만족시키는 실수 $y$가 존재하지 않는다. 따라서 $\log_2(x-3)$같은 식은 $x>3$일 때만 정의된다.
잘못된 생각: $\log_a(x_1+x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2$처럼 로그를 덧셈에 분배할 수 있다고 생각한다. 왜 틀렸는지: 로그의 덧셈 법칙은 $\log_a(x_1 x_2)=\log_a x_1+\log_a x_2$, 즉 곱셈에 대해서만 성립한다. 진수의 덧셈은 로그의 합으로 분해되지 않는다.
잘못된 생각: $0<a<1$일 때도 $\log_a x_1 > \log_a x_2 \Rightarrow x_1 > x_2$가 성립한다고 착각하여 부등식 방향을 그대로 둔다. 왜 틀렸는지: 밑이 $0<a<1$이면 로그함수는 감소함수이므로, 진수의 대소 관계와 함숫값의 대소 관계가 반대로 뒤집힌다. $\log_a x_1 > \log_a x_2$이면 오히려 $x_1 < x_2$가 되어야 한다.