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로그함수(logarithmic function)는 밑을 $a$ ($a>0$, $a \neq 1$)로 하는 지수함수 $y=a^x$의 역함수로, 다음과 같이 정의된다.
$$y = \log_a x \quad (a>0,\ a\neq 1,\ x>0)$$
여기서 $\log_a x$는 "로그 밑 $a$ $x$" 또는 "$a$를 밑으로 하는 $x$의 로그"라 읽으며, $a^y = x$를 만족시키는 $y$의 값을 뜻한다. 이때 $x$를 진수라 하며, 로그함수가 정의되려면 반드시 $x>0$이어야 한다.
지수함수 $y=a^x$는 "밑을 몇 번 곱했을 때 얼마가 되는가"를 계산하는 함수다. 로그함수는 거꾸로 "얼마가 되려면 밑을 몇 번 곱해야 하는가"를 계산하는 함수라고 생각하면 된다. 예를 들어 $2^3=8$이라는 사실을 뒤집으면 $\log_2 8 = 3$이 된다. 즉 로그함수의 그래프는 지수함수 $y=a^x$의 그래프를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 모양이 된다.
로그함수의 성질을 하나하나 외우는 대신, 이미 알고 있는 지수함수 $y=a^x$ ($a>0,\ a\neq 1$)의 성질에서 출발해 로그함수의 성질이 왜 그런 모양이 되는지 따라가 보자.
1단계 — 지수함수가 이미 알려주는 것. $y=a^x$는 정의역이 실수 전체이고 치역은 $y>0$이다. 그래프는 항상 점 $(0,1)$을 지나고, $x$축($y=0$)을 점근선으로 가진다. 또한 $a>1$이면 $x$가 커질수록 $y$도 커지는 증가함수이고, $0<a<1$이면 반대로 감소함수다.
2단계 — 역함수를 만들려면 무엇이 막히는가. $y=a^x$의 역함수를 구하려면 $x$와 $y$의 역할을 바꾸어 $x=a^y$로 놓고, 이 식을 $y$에 대해 풀어야 한다. 그런데 $a^y=x$를 만족시키는 $y$를 다항식이나 사칙연산만으로는 표현할 수 없다 — 지수에 있는 미지수를 끌어내릴 도구가 아직 없기 때문이다.
3단계 — 막힘을 뚫는 방법: 새로운 기호를 정의한다. 그래서 "$a^y=x$를 만족시키는 $y$"라는 값 자체에 새 이름을 붙인다. 이것이 바로 $y=\log_a x$의 정의다. 즉 로그함수는 $x=a^y$를 $y$에 대해 형식적으로 풀어 쓴 것에 지나지 않는다.
4단계 — 역함수이므로 정의역·치역이 통째로 뒤바뀐다. 일반적으로 역함수는 원래 함수의 정의역과 치역을 서로 맞바꾼다. $y=a^x$의 치역이 $y>0$이었으므로, 그 역함수인 로그함수의 정의역은 $x>0$이 된다. 반대로 $y=a^x$의 정의역이 실수 전체였으므로, 로그함수의 치역도 실수 전체가 된다.
5단계 — 그래프를 뒤집으면 특징점과 점근선도 함께 뒤집힌다. 역함수의 그래프는 원래 함수의 그래프를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 것과 같다. $y=a^x$가 지나던 점 $(0,1)$은 대칭이동하면 $(1,0)$이 되므로, 로그함수의 그래프는 항상 $(1,0)$을 지난다. 마찬가지로 $y=a^x$의 점근선이었던 $x$축($y=0$)은 대칭이동하면 $y$축($x=0$)이 되므로, 로그함수는 $y$축을 점근선으로 갖는다.
6단계 — 증가·감소 여부도 역함수에서 그대로 보존된다. 어떤 함수가 증가함수이면 그 역함수도 증가함수이고, 감소함수이면 역함수도 감소함수다. 따라서 $a>1$일 때 $y=a^x$가 증가함수였으므로 $y=\log_a x$도 증가함수이고, $0<a<1$일 때는 $y=a^x$가 감소함수였으므로 $y=\log_a x$도 감소함수다.
이렇게 지수함수의 성질 하나하나를 "역할을 바꾸고 그래프를 대칭이동한다"는 원리로 그대로 따라가면, 로그함수의 정의역·치역·특징점·점근선·증가감소가 모두 자연스럽게 정해진다.
$\log_2 8$의 값을 구해보자. $2^3=8$이므로 $\log_2 8=3$이다.
$\log_{\frac{1}{2}} 4$의 값도 구해보자. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4$이므로 $\log_{\frac{1}{2}} 4=-2$이다. 밑이 1보다 작으므로 이 함수는 감소함수이고, 진수가 커질수록 함숫값은 작아진다.
밑이 2인 로그함수 $y=\log_2 x$의 그래프는 다음과 같다 (자연로그 비율로 표현, $\log_2 x=\dfrac{\ln x}{\ln 2}$).
산성도를 나타내는 pH는 로그함수를 이용해 정의된다. 수용액 속 수소 이온 농도 $[\mathrm{H^+}]$는 매우 작고 그 범위도 넓어서(예: $10^{-1}$ ~ $10^{-14}$ 몰/리터) 농도값 그대로 비교하면 다루기 불편하다. 그래서
$$\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$$
로 정의해, 넓은 범위의 농도를 $0\sim14$ 사이의 다루기 쉬운 수로 압축한다. 이때 $[\mathrm{H^+}]$가 10배 커지면(산성이 강해지면) pH는 정확히 1만큼 작아지는데, 이는 로그함수가 곱셈 관계를 뺄셈(등차) 관계로 바꿔 주는 성질을 그대로 이용한 것이다. 지진의 세기를 나타내는 리히터 규모나 소리의 크기를 나타내는 데시벨도 같은 원리로 로그함수를 사용한다.
잘못된 생각: 로그함수도 다항함수처럼 정의역이 실수 전체라고 생각한다. 왜 틀렸는지: 진수조건 $x>0$을 만족해야 로그값이 정의된다. $\log_a x$에서 $x\le 0$이면 애초에 $a^y=x$를 만족시키는 실수 $y$가 존재하지 않는다. 따라서 $\log_2(x-3)$같은 식은 $x>3$일 때만 정의된다.
잘못된 생각: $\log_a(x_1+x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2$처럼 로그를 덧셈에 분배할 수 있다고 생각한다. 왜 틀렸는지: 로그의 덧셈 법칙은 $\log_a(x_1 x_2)=\log_a x_1+\log_a x_2$, 즉 곱셈에 대해서만 성립한다. 진수의 덧셈은 로그의 합으로 분해되지 않는다.
잘못된 생각: $0<a<1$일 때도 $\log_a x_1 > \log_a x_2 \Rightarrow x_1 > x_2$가 성립한다고 착각하여 부등식 방향을 그대로 둔다. 왜 틀렸는지: 밑이 $0<a<1$이면 로그함수는 감소함수이므로, 진수의 대소 관계와 함숫값의 대소 관계가 반대로 뒤집힌다. $\log_a x_1 > \log_a x_2$이면 오히려 $x_1 < x_2$가 되어야 한다.
17세기 초 천문학과 항해 계산에는 매우 큰 수들의 곱셈과 나눗셈이 반복적으로 필요했는데, 이 계산은 손으로 하면 시간이 오래 걸리고 오차도 생기기 쉬웠다. 1614년 존 네이피어는 곱셈을 덧셈으로 바꾸어 계산량을 줄이는 로그의 개념과 로그표를 발표했고, 이어 헨리 브리그스가 오늘날 널리 쓰이는 밑이 10인 상용로그표를 만들어 실제 계산에 쓰기 편하게 다듬었다. 처음의 로그는 계산을 빠르게 하기 위한 표(테이블)에 가까웠고, 지수함수의 역함수라는 함수로서의 관점은 그보다 뒤에 자리 잡았다. 18세기에 오일러가 지수함수와 로그함수의 관계를 명확히 정리하면서, 오늘날처럼 로그를 지수함수의 역함수인 하나의 함수로 다루는 관점이 확립되었다.