🧭 선수 개념 — 이 문서는 다음을 안다는 전제로 쓰였어요: 평면좌표 (중등) · 직선의 방정식 · 이차함수 (중등)
정의
평면 위에 한 점 $F$(초점이라 한다)와 이 점을 지나지 않는 한 직선 $l$(준선이라 한다)이 있을 때, $F$까지의 거리와 $l$까지의 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다.
즉 포물선 위의 점 $P$는 항상
$$\overline{PF} = d(P, l)$$
을 만족한다. 여기서 $d(P, l)$은 점 $P$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발까지의 거리를 뜻한다.
초점이 $F(p, 0)$이고 준선이 $x = -p$ ($p \neq 0$)인 포물선의 방정식은 다음과 같이 유도된다. 점 $P(x, y)$에 대해
$$\sqrt{(x-p)^2 + y^2} = x + p$$
양변을 제곱하여 정리하면
$$y^2 = 4px$$
를 얻는다. 이 포물선은 꼭짓점이 원점이고 $x$축을 축으로 가지며, $p>0$이면 오른쪽으로, $p<0$이면 왼쪽으로 열린다.
같은 방법으로 초점이 $(0, p)$, 준선이 $y=-p$인 포물선은 $x^2 = 4py$이며, 이는 이차함수 $y = \dfrac{1}{4p}x^2$과 같은 그래프다.
직관
포물선을 "초점에서 재고, 준선에서 재도 똑같은 거리가 나오는 점들의 자취"라고 생각하면, 마치 초점 쪽으로 당기는 힘과 준선 쪽으로 미는 힘이 정확히 균형을 이루는 곡선처럼 그려진다. 꼭짓점(원점)은 초점과 준선까지의 거리가 각각 $|p|$로 가장 짧아지는 지점이고, 곡선이 초점에서 멀어질수록 준선에서도 그만큼 멀어지도록 자연스럽게 휘어진다.
이미 알고 있는 이차함수 $y=ax^2$의 그래프도 사실 포물선이다. $x^2=4py$ 꼴로 바꾸면 $y = \dfrac{1}{4p}x^2$이므로, $a = \dfrac{1}{4p}$인 것이다. 즉 포물선은 "초점·준선"이라는 기하학적 정의로 이차함수 그래프를 다시 보는 관점이다.
성질
축: 초점과 꼭짓점을 지나는 직선으로, 포물선은 이 축에 대해 선대칭이다.
초점과의 거리 최소: 꼭짓점은 포물선 위의 점 중 초점까지의 거리가 가장 짧다.
반사성: 축에 평행하게 들어온 빛(또는 전파)은 포물면에 반사되어 모두 초점으로 모인다. 반대로 초점에서 나온 빛은 반사 후 축에 평행하게 나간다.
평행이동: 꼭짓점이 $(h,k)$인 포물선은 $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ 또는 $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ 꼴이며, 초점과 준선도 꼭짓점만큼 함께 평행이동한다.
위 그래프는 $x^2 = 8y$, 즉 초점이 $(0,2)$, 준선이 $y=-2$인 포물선이다.
🌍 실생활 예시
위성 안테나(파라볼라 안테나)의 접시 단면은 포물선 모양이다. 먼 우주에서 오는 전파는 접시 축에 거의 평행하게 들어오는데, 포물선의 반사성 덕분에 이 전파들이 모두 한 점(초점)으로 모이고, 그 자리에 수신 장치를 두면 미약한 신호를 효율적으로 모아 증폭할 수 있다. 자동차 전조등이나 손전등도 반대로, 초점에 전구를 두어 빛을 평행하게 멀리 보내는 데 같은 원리를 이용한다.
⚠️ 흔한 실수
잘못된 생각: $y^2 = 8x$에서 초점이 $(8, 0)$이라고 생각한다. → 왜 틀렸는가: $y^2 = 4px$ 꼴에서 $4p$가 계수이므로 $8 = 4p$를 풀어 $p=2$를 구해야 한다. 계수를 곧바로 $p$로 착각하면 안 된다.
잘못된 생각: 준선까지의 거리를 구할 때 그냥 점의 $x$좌표를 쓴다. → 왜 틀렸는가: 준선까지의 거리는 점에서 준선까지 수직으로 내린 거리, 즉 $|x - (-p)| = x+p$ (준선이 $x=-p$일 때)이지, $x$좌표 자체가 아니다.
잘못된 생각: 꼭짓점이 원점이 아닌 포물선도 초점과 준선이 원점 기준 공식 그대로라고 생각한다. → 왜 틀렸는가: 꼭짓점이 $(h,k)$로 이동하면 초점과 준선도 함께 평행이동해야 한다. 예를 들어 $(y-k)^2=4p(x-h)$의 초점은 $(h+p, k)$이지 $(p, 0)$이 아니다.
확인 문제
포물선 $y^2 = -12x$의 초점과 준선을 구하시오.
초점이 $(0, 5)$이고 준선이 $y = -5$인 포물선의 방정식을 구하시오.
(개념을 파고드는 문제) 포물선 위의 임의의 점 $P$에서 초점 $F$까지의 거리와 준선까지의 거리가 항상 같다는 정의를 이용해, $y^2=4x$ 위의 점 $(1, 2)$에서 초점 $(1,0)$까지의 거리와 준선 $x=-1$까지의 거리를 각각 직접 계산해 서로 같은지 확인하시오.
정답 보기
$4p=-12$이므로 $p=-3$. 초점은 $(-3, 0)$, 준선은 $x=3$.
축이 $y$축이고 초점이 원점 위에 있으므로 $x^2=4py$, $p=5$. 방정식은 $x^2=20y$.
초점까지 거리: $\sqrt{(1-1)^2+(2-0)^2} = 2$. 준선까지 거리: $1-(-1)=2$. 두 값이 모두 $2$로 같으므로, 이 점이 실제로 포물선의 정의(초점과 준선까지 거리가 같음)를 만족함을 확인할 수 있다.