이차함수(二次函數)란 $y = ax^2 + bx + c$ (단, $a$, $b$, $c$는 상수이고 $a \neq 0$) 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 여기서 $a \neq 0$은 "$a$는 0이 아니다"라고 읽으며, $a$가 0이면 $x^2$ 항이 사라져 일차함수가 되어 버리므로 반드시 필요한 조건이다.
가장 간단한 이차함수는 $y = x^2$이고, 일반적인 이차함수는 이를 이동하고 늘이거나 줄인 모양이다.
이차함수의 그래프는 항상 포물선 모양이다. 공을 위로 던지면 포물선을 그리며 올라갔다가 내려오는데, 이때 시간에 따른 높이를 식으로 나타내면 이차함수가 된다. 즉 이차함수는 "속도가 점점 변하면서 한 번 방향을 바꾸는 움직임"을 표현하는 데 알맞은 함수다.
포물선은 좌우 대칭인 곡선이고, 가장 높거나 가장 낮은 지점(꼭짓점)이 하나 있다. $a>0$이면 아래로 볼록(∪ 모양)해서 꼭짓점이 최솟값이 되고, $a<0$이면 위로 볼록(∩ 모양)해서 꼭짓점이 최댓값이 된다.
이미 알고 있는 것은 $y=ax^2$ 꼴의 그래프다. 이 그래프는 원점 $(0,0)$이 꼭짓점인 포물선이라는 것을 직관 섹션에서 확인했다. 그런데 일반적인 이차함수 $y=ax^2+bx+c$는 $bx$와 $c$가 섞여 있어서, 이 식만 봐서는 꼭짓점이 어디인지 바로 알 수 없다는 것이 막히는 지점이다.
이 막힘을 뚫는 방법은 $y=ax^2+bx+c$를 $y=a(x-p)^2+q$ 꼴로, 즉 $x$에 대한 완전제곱식으로 바꾸는 것이다. 이렇게 바꾸고 나면 $y=ax^2$의 그래프를 평행이동한 모양이라는 것이 바로 보인다. 이차방정식의 근의 공식을 유도할 때 썼던 완전제곱식 만들기와 같은 방법을 그대로 쓴다.
1단계. 먼저 $x^2$과 $x$가 있는 두 항만 $a$로 묶는다.
$$y = ax^2+bx+c = a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$$
2단계. 괄호 안을 완전제곱식으로 만들려면 $x$의 계수 $\dfrac{b}{a}$의 절반을 제곱한 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$을 더했다가 다시 빼서 값을 바꾸지 않아야 한다.
$$y = a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c$$
3단계. 앞의 세 항은 완전제곱식으로 묶이고, 나머지 항은 괄호 밖으로 정리한다.
$$y = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}+c$$
4단계. $p=-\dfrac{b}{2a}$, $q=-\dfrac{b^2}{4a}+c$로 이름 붙이면 다음과 같이 정리된다.
$$y=a(x-p)^2+q, \qquad p=-\frac{b}{2a},\ \ q=c-\frac{b^2}{4a}$$
즉 어떤 이차함수든 완전제곱식으로 바꾸면 반드시 $a(x-p)^2+q$ 꼴이 되고, 이 값은 $x=p$일 때 $(x-p)^2=0$이 되어 $y=q$로 가장 작거나(가장 큰) 값을 갖는다. 성질 섹션에서 다루는 표준형과 꼭짓점 공식은 바로 이 계산에서 나온 것이다.
이차함수 $y = ax^2 + bx + c$는 완전제곱식으로 변형하여 다음과 같은 표준형(꼭짓점 형태)으로 바꿀 수 있다.
$$y = a(x-p)^2 + q$$
이 식의 그래프는 $y = ax^2$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것이며, 꼭짓점의 좌표는 $(p, q)$이다.
$y = x^2 - 2x - 3$을 표준형으로 바꾸면 다음과 같다.
$$y = (x-1)^2 - 4$$
따라서 이 그래프는 $y=x^2$을 $x$축 방향으로 1, $y$축 방향으로 $-4$만큼 이동한 것이고, 꼭짓점은 $(1, -4)$이다. 또한 $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$이므로 그래프는 $x$축과 $x=3$, $x=-1$에서 만난다.
분수대나 폭포에서 물이 뿜어져 나올 때, 물줄기가 그리는 곡선이 바로 포물선이다. 노즐에서 나온 물은 처음에는 빠르게 위로 솟구치지만 중력 때문에 속도가 점점 줄어들다가, 가장 높은 지점(꼭짓점)을 지나면서 다시 아래로 떨어진다. 이때 물의 높이를 $y$, 수평 이동 거리를 $x$로 두면 그 관계는 이차함수 $y=ax^2+bx+c$ ($a<0$)로 나타낼 수 있고, 계수 $a$의 절댓값이 클수록 물줄기가 더 급하게 떨어지는 모양이 된다. 놀이공원의 분수 설계자는 이런 이차함수 그래프를 이용해 물줄기가 원하는 지점에서 원하는 높이까지 도달하도록 노즐의 각도와 수압을 조정한다.
포물선 자체는 고대 그리스의 아폴로니우스가 원뿔을 잘라서 생기는 곡선들(원뿔곡선)을 연구하면서 이미 그 기하학적 성질을 상세히 밝혀 두었다. 하지만 당시에는 좌표나 방정식이 없었기 때문에 포물선은 순전히 도형으로만 다루어졌다. 이후 갈릴레오는 공을 던지면 그리는 궤적이 바로 이 포물선과 같은 모양이라는 것을 밝혀, 포물선이 추상적인 도형을 넘어 물체의 운동을 설명하는 데 쓰일 수 있음을 보였다. 도형을 방정식으로 나타내는 좌표기하학이 17세기에 데카르트에 의해 정립되면서, 비로소 포물선을 $y=ax^2+bx+c$와 같은 오늘날의 이차함수 식으로 표현할 수 있게 되었다.