이차함수

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정의

이차함수(二次函數)란 $y = ax^2 + bx + c$ (단, $a$, $b$, $c$는 상수이고 $a \neq 0$) 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 여기서 $a \neq 0$은 "$a$는 0이 아니다"라고 읽으며, $a$가 0이면 $x^2$ 항이 사라져 일차함수가 되어 버리므로 반드시 필요한 조건이다.

가장 간단한 이차함수는 $y = x^2$이고, 일반적인 이차함수는 이를 이동하고 늘이거나 줄인 모양이다.

직관

이차함수의 그래프는 항상 포물선 모양이다. 공을 위로 던지면 포물선을 그리며 올라갔다가 내려오는데, 이때 시간에 따른 높이를 식으로 나타내면 이차함수가 된다. 즉 이차함수는 "속도가 점점 변하면서 한 번 방향을 바꾸는 움직임"을 표현하는 데 알맞은 함수다.

포물선은 좌우 대칭인 곡선이고, 가장 높거나 가장 낮은 지점(꼭짓점)이 하나 있다. $a>0$이면 아래로 볼록(∪ 모양)해서 꼭짓점이 최솟값이 되고, $a<0$이면 위로 볼록(∩ 모양)해서 꼭짓점이 최댓값이 된다.

성질

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$는 완전제곱식으로 변형하여 다음과 같은 표준형(꼭짓점 형태)으로 바꿀 수 있다.

$$y = a(x-p)^2 + q$$

이 식의 그래프는 $y = ax^2$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것이며, 꼭짓점의 좌표는 $(p, q)$이다.

• $a$의 절댓값이 클수록 그래프의 폭은 좁아진다.
• 그래프는 직선 $x = p$에 대해 대칭이다(이 직선을 축이라 한다).
• $x$축과 만나는 점의 $x$좌표는 $ax^2+bx+c=0$, 즉 이차방정식의 해와 같다.

예시

$y = x^2 - 2x - 3$을 표준형으로 바꾸면 다음과 같다.

$$y = (x-1)^2 - 4$$

따라서 이 그래프는 $y=x^2$을 $x$축 방향으로 1, $y$축 방향으로 $-4$만큼 이동한 것이고, 꼭짓점은 $(1, -4)$이다. 또한 $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$이므로 그래프는 $x$축과 $x=3$, $x=-1$에서 만난다.

⚠️ 흔한 실수

• 잘못된 생각: "$a$ 값이 클수록 그래프가 옆으로 넓게 퍼진다." 왜 틀렸는가: 실제로는 $a$의 절댓값이 커질수록 $y$값이 더 빨리 커지므로 그래프의 폭은 오히려 좁아진다. $y=x^2$과 $y=3x^2$을 같은 $x$에서 비교하면 $3x^2$이 더 빨리 치솟는다는 것을 확인하면 헷갈리지 않는다.
• 잘못된 생각: $y=a(x-p)^2+q$에서 꼭짓점을 $(-p, q)$로 쓴다. 왜 틀렸는가: 식 안에 $(x-p)$처럼 뺄셈 형태로 적혀 있어서 부호를 반대로 착각하기 쉽다. 하지만 $x=p$를 대입하면 $(x-p)^2=0$이 되어 $y=q$, 즉 꼭짓점은 $(p, q)$가 맞다.
• 잘못된 생각: $x^2$ 항이 있으면 무조건 이차함수다. 왜 틀렸는가: 계수 $a$가 실제로 0이 되는 경우(예: $y=0\cdot x^2+2x+1$)는 계산 결과가 일차함수와 같아지므로 이차함수가 아니다. 반드시 $a\neq0$을 확인해야 한다.

확인 문제

1. $y = -2x^2 + 8x - 5$를 완전제곱식을 이용해 표준형 $y=a(x-p)^2+q$로 나타내고 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
2. $y = x^2$의 그래프와 $y = \dfrac{1}{2}x^2$의 그래프 중 어느 쪽이 더 폭이 넓은지 말하고 이유를 설명하시오.
3. 이차함수 $y = (x-2)(x+4)$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 좌표를 구하시오.

관련 개념

• 일차함수 — 이차함수보다 먼저 배우는 가장 단순한 형태의 함수
• 함수 — 이차함수가 속하는 더 큰 개념
• 평면좌표 — 그래프를 그리기 위한 바탕
• 이차방정식 — 이차함수의 그래프가 $x$축과 만나는 점을 구하는 데 쓰인다
• 이차부등식 — 이차함수의 그래프를 이용해 부등식의 해를 구하는 후속 개념