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삼각방정식

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🧭 이 문서가 어렵다면 먼저 읽어 보세요 — 이차방정식 (중등) · 방정식 (중등) · 삼각비 (중등)

이 개념은 삼각함수 값이 특정한 값을 가지도록 하는 각을 구하는 방정식이다.

정의

삼각방정식은 각의 크기를 미지수로 하고, $\sin$, $\cos$, $\tan$ 등의 삼각함수를 포함하는 방정식이다. 예를 들어 $\sin x = \dfrac{1}{2}$, $2\cos^2 x - 1 = 0$ 등이 삼각방정식이다.

삼각함수는 주기함수이므로, 삼각방정식의 해는 보통 하나가 아니라 무수히 많다. 그래서 문제에서는 흔히 각의 범위(정의역)를 $0 \leq x < 2\pi$ 또는 $0^\circ \leq x < 360^\circ$처럼 제한한 뒤 그 범위 안의 해를 구하거나, 정수 $n$($n \in \mathbb{Z}$, "n은 정수"라고 읽는다)을 이용해 모든 해를 일반해 형태로 나타낸다.

직관

삼각방정식을 푼다는 것은 "단위원 위에서 $y$좌표(또는 $x$좌표)가 특정 값이 되는 점을 모두 찾는 것"과 같다. 단위원을 한 바퀴 돌 때마다 같은 $y$값을 갖는 점이 반복해서 나타나므로, 해도 $2\pi$(또는 $360^\circ$)마다 반복된다. 그래프로 보면 $y=\sin x$의 그래프와 수평선 $y=k$가 만나는 $x$좌표들을 찾는 것이 바로 삼각방정식을 푸는 일이다.

풀이 방법

  1. 단위원 이용: $\sin x = k$, $\cos x = k$ 꼴이면 단위원 위에서 $y$좌표 또는 $x$좌표가 $k$인 점의 각을 찾는다.
  2. 그래프 이용: $y = \sin x$(또는 $\cos x$, $\tan x$)의 그래프와 $y=k$의 교점의 $x$좌표를 읽는다.
  3. 치환을 통한 대수방정식화: $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$처럼 하나의 삼각함수로 통일된 식은 $t = \cos x$로 치환하면 $t$에 대한 이차방정식이 되어 익숙한 방법으로 풀 수 있다. 단, 치환한 문자의 범위($-1 \le t \le 1$)를 반드시 확인해야 한다.

예시

예시 1: $0 \leq x < 2\pi$에서 $\sin x = \dfrac{1}{2}$의 해를 구하시오.

단위원에서 $y$좌표가 $\dfrac{1}{2}$인 각은 $x = \dfrac{\pi}{6}$와 $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$이다.

모든 실수 범위의 일반해는 $x = \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi$ 또는 $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$은 정수)이다.

예시 2: $0 \leq x < 2\pi$에서 $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$의 해를 구하시오.

$t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하면 $2t^2 - t - 1 = 0$, 즉 $(2t+1)(t-1) = 0$이므로 $t = -\dfrac{1}{2}$ 또는 $t = 1$.

따라서 해는 $x = 0, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$이다.

🌍 실생활 예시

관람차나 진자처럼 일정한 주기로 움직이는 물체의 높이는 시간 $t$에 대한 삼각함수로 나타낼 수 있다. 예를 들어 관람차 탑승칸의 높이가 $h(t) = 10\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) + 12$(m)로 모형화된다면, "탑승칸의 높이가 17m가 되는 시각은 언제인가?"라는 질문은 $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) = \dfrac{1}{2}$라는 삼각방정식을 푸는 문제가 된다.

⚠️ 흔한 실수

확인 문제

  1. $0 \leq x < 2\pi$에서 $\cos x = -1$의 해를 모두 구하시오.
  2. $0 \leq x < 360^\circ$에서 $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$을 만족하는 $x$를 구하시오.
  3. 단위원을 이용해 $\sin x = \dfrac{1}{2}$의 해가 왜 항상 두 개씩(범위를 정하지 않으면 무수히 많이) 나오는지, $x=\dfrac{\pi}{6}$과 $x=\dfrac{5\pi}{6}$의 위치 관계를 그림으로 설명해 보시오. 만약 방정식이 $\tan x = 1$이었다면 한 주기 안의 해가 몇 개일지도 생각해 보시오.
정답 보기
  1. $\cos x = -1$은 단위원에서 $x$좌표가 $-1$인 점이 $x=\pi$ 하나뿐이므로 해는 $x = \pi$이다.
  2. $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$를 이용하면 $2(1-\cos^2 x) + 3\cos x = 0$, 즉 $2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$이므로 $(2\cos x + 1)(\cos x - 2) = 0$. $\cos x = 2$는 불가능하므로 $\cos x = -\dfrac{1}{2}$, 따라서 $x = 120^\circ, 240^\circ$.
  3. $\sin$은 $y$좌표이므로 단위원에서 $y=\dfrac{1}{2}$인 수평선을 그으면 원과 두 점에서 만나고, 그 두 점은 $y$축에 대해 대칭(각으로는 $\pi$를 기준으로 대칭)이라 $\dfrac{\pi}{6}$과 $\pi - \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$이 된다. 반면 $\tan x = 1$은 $\tan$의 주기가 $\pi$이므로 한 주기 $[0,\pi)$ 안에서 해가 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 단 하나뿐이다 — 이처럼 삼각방정식의 해의 개수는 그 함수의 주기와 그래프 모양에 따라 달라진다.

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