미지수가 여러 개인 일차방정식을 두 개 이상 묶어 놓고 동시에 만족하는 해를 찾는 문제를 연립일차방정식이라 한다.
$$\begin{cases} ax + by = p \\ cx + dy = q \end{cases}$$
방정식 하나는 조건 하나다. 미지수가 2개면 조건 하나로는 답이 정해지지 않고(자유도가 남는다), 조건 2개가 모이면 보통 답이 하나로 조여진다. 기하로 보면 각 방정식은 직선이고, 연립방정식의 해는 두 직선의 교점이다. 그래서 해의 개수는 세 경우뿐이다:
| 두 직선의 관계 | 해 |
|---|---|
| 한 점에서 만남 | 한 쌍 (유일) |
| 평행 | 없음 (불능) |
| 일치 | 무수히 많음 (부정) |
연립방정식에서 학생들이 실제로 궁금해하는 건 **"왜 미지수가 2개면 식도 2개가 필요한가"**다. 감을 잡으려면 식 하나를 "정보 하나"로 생각하면 된다. "두 수의 합이 $10$"이라는 정보 하나만으로는 두 수가 $(1,9)$인지 $(4,6)$인지 정할 수 없다. 여기에 "두 수의 차가 $2$"라는 정보가 하나 더 붙어야 비로소 답이 하나로 좁혀진다. 미지수 $2$개의 자유를 묶으려면 서로 다른 정보(식)가 $2$개 필요한 것이다.
가감법으로 두 식을 더하거나 빼는 절차도 처음엔 "이래도 되나?" 싶다. 등식은 양팔저울이 균형을 이룬 상태와 같아서, 균형 잡힌 두 저울의 양쪽을 각각 합쳐도 새 저울은 여전히 균형이다. 그래서 두 식을 더한 식도 원래 해를 그대로 만족한다. 이때 계수를 맞춰 한 미지수가 사라지도록 더하거나 빼면, 남는 건 미지수 하나짜리 쉬운 식이 된다.
해가 없거나 무수히 많은 경우도 이 "정보" 관점으로 이해할 수 있다. 두 식이 사실상 같은 말을 반복하면(정보가 중복) 조건이 하나뿐인 셈이라 답이 무수히 많고(부정), 두 식이 서로 모순되면(예: 같은 두 수의 합이 $5$이면서 동시에 $6$) 만족하는 답이 아예 없다(불능). 두 식의 계수만 비례하는지, 상수항까지 맞는지를 살피면 이 경우들을 미리 알아챌 수 있다.
$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}$ — 첫 식에 $3$을 곱해 빼면 $2y = 4$, 곧 $y = 2$, $x = 1$. 두 직선 $x + 2y = 5$와 $3x + 4y = 11$이 점 $(1, 2)$에서 만난다는 뜻이다.