# 지수함수 분야: 해석 학교급: 고등 정식 URL: https://pi.devxdev.xyz/wiki/math/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98 --- ## 정의 $a$가 $1$이 아닌 양수($a>0,\ a\neq 1$)일 때, 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 $$f(x) = a^x$$ 를 $a$를 밑으로 하는 **지수함수**라 한다. 여기서 지수 $x$는 자연수나 정수뿐 아니라 모든 실수를 대입할 수 있는데, 이는 유리수 지수 $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$의 정의를 실수 전체로 확장한 것이다. 밑의 조건 $a>0,\ a\neq 1$은 반드시 필요하다. $a\le 0$이면 $a^{1/2}$처럼 실수 값이 정의되지 않는 지수가 생기고, $a=1$이면 $f(x)=1^x=1$로 상수함수가 되어 함수의 증가·감소 성질 자체가 사라지기 때문이다. ## 직관 지수함수는 "한 단계 나아갈 때마다 일정한 배수로 곱해지는" 변화를 나타내는 함수다. 예를 들어 박테리아가 1시간마다 2배로 늘어난다면, $x$시간 후의 개체 수(초깃값 1일 때)는 $2^x$이다. 덧셈으로 일정하게 늘어나는 일차함수와 달리, 지수함수는 곱셈으로 일정하게 늘어난다는 점이 핵심이다. 그래프로 보면 지수함수의 그래프는 항상 점 $(0,1)$을 지나고, $x$축($y=0$)을 점근선으로 가지면서 $x$축에 한없이 가까워지지만 결코 닿지 않는다. $a>1$이면 오른쪽으로 갈수록 가파르게 증가하고, $00\}$이다. - 그래프는 점 $(0,1)$과 $(1,a)$를 지나고, 점근선은 직선 $y=0$이다. - $a>1$일 때 $f(x)=a^x$는 실수 전체에서 증가함수이다: $x_1 < x_2 \iff a^{x_1} < a^{x_2}$. - $0 a^{x_2}$. - 지수법칙: 모든 실수 $x, y$에 대해 $a^x a^y = a^{x+y}$, $(a^x)^y = a^{xy}$, $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$가 성립한다. - 평행이동: $y = a^{x-m} + n$의 그래프는 $y=a^x$의 그래프를 $x$축 방향으로 $m$, $y$축 방향으로 $n$만큼 평행이동한 것이며, 점근선도 함께 $y=n$으로 이동한다. - $y=a^x$와 $y=\left(\dfrac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$의 그래프는 $y$축에 대해 서로 대칭이다. - $a>0,\ a\neq 1$일 때 $y=a^x$는 일대일대응이므로 역함수를 가지며, 그 역함수가 로그함수 $y = \log_a x$이다. ## 예시 **예시 1.** $f(x) = 2^x$일 때 $f(3) = 2^3 = 8$, $f(0) = 2^0 = 1$, $f(-2) = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$이다. $2>1$이므로 $f$는 증가함수이고, 실제로 $8 > 1 > \dfrac14$이다. **예시 2.** $g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$일 때 $g(3) = \dfrac{1}{8}$, $g(-2) = 2^2 = 4$이다. 밑이 $\dfrac12$로 $1$보다 작으므로 $g$는 감소함수이고, $x$가 커질수록 값이 작아진다. **예시 3.** 방정식 $3^{x-1} = 27$을 풀면, $27 = 3^3$이므로 $x-1=3$, 즉 $x=4$이다. 밑이 같은 지수함수는 일대일대응이므로 지수만 비교해 풀 수 있다. 그래프: y=2^x, y=(1/2)^x (정의역 -3~3) ## ⚠️ 흔한 실수 - **잘못된 생각:** $y=2^x$와 $y=x^2$을 같은 종류의 함수로 생각한다. **왜 틀렸는지:** $y=x^2$은 밑이 변수 $x$이고 지수가 상수 $2$인 다항함수(멱함수)이고, $y=2^x$은 밑이 상수 $2$이고 지수가 변수 $x$인 지수함수다. 증가 속도도 전혀 달라서, $x$가 커지면 $2^x$이 결국 $x^2$보다 훨씬 빠르게 커진다. - **잘못된 생각:** 밑 $a$의 조건을 신경 쓰지 않고 $a<0$이거나 $a=1$인 경우도 지수함수라고 생각한다. **왜 틀렸는지:** $a=1$이면 $f(x)=1^x=1$은 항상 같은 값만 나오는 상수함수이지 증가·감소하는 지수함수가 아니다. 또 $a<0$이면 $a^{1/2}$과 같이 실수 범위에서 정의되지 않는 값이 생겨 함수 자체가 실수 전체에서 정의될 수 없다. - **잘못된 생각:** $y=a^{x-m}+n$의 그래프를 그릴 때 점근선을 여전히 $y=0$으로 놓는다. **왜 틀렸는지:** 평행이동은 그래프 전체를 이동시키므로 점근선도 함께 이동한다. $y$축 방향으로 $n$만큼 이동했다면 점근선은 $y=n$이 되어야 하는데, 이를 놓치면 치역과 그래프 개형을 모두 잘못 판단하게 된다. ## 확인 문제 1. $f(x) = 3^x$에 대하여 $f(-2)$의 값을 구하여라. 2. $y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x$의 그래프는 증가함수인지 감소함수인지 판단하고, 그 이유를 밑의 값을 이용해 설명하여라. 3. $y = 2^{x+1} - 3$의 그래프의 점근선의 방정식을 구하여라. 정답 보기: 1. $f(-2) = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}$이다. 2. 감소함수이다. 밑 $\dfrac14$가 $0 < \dfrac14 < 1$을 만족하므로 $x$가 커질수록 함수값은 작아진다. 3. $y=2^x$의 그래프를 $x$축 방향으로 $-1$, $y$축 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 $y=-3$이다. ## 관련 개념 - 지수 — 지수함수를 정의하기 위한 실수 지수와 지수법칙의 기초 - 함수 — 정의역, 치역, 증가·감소 등 지수함수를 설명하는 기본 언어 - 로그함수 — 지수함수의 역함수 - 함수의 극한 — 지수함수의 극한과 점근선을 엄밀하게 다루는 데 쓰임 - 미분법 — 지수함수(특히 자연로그의 밑 $e$를 이용한 지수함수)의 도함수를 다룰 때 사용됨 --- 관련 개념: - 일차함수 (/wiki/math/%EC%9D%BC%EC%B0%A8%ED%95%A8%EC%88%98) - 로그함수 (/wiki/math/%EB%A1%9C%EA%B7%B8%ED%95%A8%EC%88%98) - 지수 (/wiki/math/%EC%A7%80%EC%88%98) - 함수 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98) - 함수의 극한 (/wiki/math/%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98_%EA%B7%B9%ED%95%9C) - 미분법 (/wiki/math/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B2%95)