이제 빠진 세 섹션(유도, 🌍 실생활 예시, 📜 역사)을 표준 위치에 삽입한 전체 문서를 출력합니다.
이 개념은 지수의 역연산으로서 로그를 정의하고, 로그의 성질과 상용로그를 다룬다.
양수 $a$($a>0$, $a\neq 1$)와 양수 $N$에 대하여 $a^x = N$을 만족시키는 실수 $x$는 오직 하나 존재한다. 이 $x$를 $a$를 밑으로 하는 $N$의 로그라 하고
$$x = \log_a N$$
로 나타낸다. $\log_a N$은 "로그 밑 $a$, 진수 $N$"이라 읽는다. 여기서 $a$를 밑, $N$을 진수라 하며, 로그가 정의되려면 반드시
을 모두 만족해야 한다. 특히 밑을 따로 쓰지 않고 그냥 $\log N$이라 쓰면 밑이 $10$인 로그, 즉 상용로그를 뜻한다.
지수 $a^x=N$은 "$a$를 몇 번 곱해야 $N$이 되는가"를 $N$에서 거꾸로 물어보면 "$a$를 몇 번 곱해야 하는가"의 답, 즉 지수 $x$를 구하는 문제가 된다. 로그는 바로 그 지수 $x$의 값이다. 예를 들어 $2^3=8$이라는 곱셈 정보를 뒤집어서 "$8$은 $2$를 세 번 곱한 것"이라고 답하는 것이 $\log_2 8 = 3$이다. 즉 로그는 지수와 서로 역함수 관계이며, 이 관계를 함수로 확장한 것이 로그함수이다.
한 걸음: 지수 함수는 거꾸로 뒤집을 수 있는가? $a>0$, $a\neq 1$일 때 $y=a^x$는 $x$가 커지면 $y$도 한쪽 방향으로만 움직이는 함수다($a>1$이면 계속 증가, $0<a<1$이면 계속 감소). 이렇게 한쪽으로만 움직이면 같은 $y$값을 두 번 이상 만들어내는 $x$가 없으므로, 임의의 양수 $N$에 대해 $a^x=N$을 만족하는 $x$가 정확히 하나 존재한다. 이 유일한 $x$에 이름을 붙인 것이 $\log_a N$이다 — 즉 로그는 지수함수의 역함수 값 그 자체다.
다음 걸음: 이 정의로부터 곱셈이 덧셈으로 바뀌는 이유를 보이자. $M=a^p$, $N=a^q$라 하면 정의에 의해 $p=\log_a M$, $q=\log_a N$이다. 이때 $M$과 $N$의 곱을 지수법칙으로 계산하면
$$MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q}$$
이다. 이 식은 "$MN$을 만드는 지수가 $p+q$"라는 뜻이므로, 로그의 정의를 다시 적용하면
$$\log_a(MN) = p+q = \log_a M + \log_a N$$
을 얻는다. 곱셈 법칙을 외운 것이 아니라, 지수법칙 $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$을 로그의 정의로 되읽었을 뿐이다.
같은 방식으로 나눗셈과 거듭제곱도 뒤집는다. 나눗셈 법칙은 $a^p \div a^q = a^{p-q}$에서
$$\log_a\frac{M}{N} = p-q = \log_a M - \log_a N$$
으로 나오고, 거듭제곱 법칙은 $M^k=(a^p)^k=a^{pk}$에서
$$\log_a M^k = pk = k\log_a M$$
으로 나온다. 이렇게 지수법칙 세 가지(곱·나눗셈·거듭제곱)를 로그의 정의로 뒤집으면, 위 성질 절의 세 공식이 모두 자연스럽게 얻어진다.
$a>0$, $a\neq 1$, $M>0$, $N>0$일 때 다음이 성립한다.
예시 1. $\log_2 32$를 구하면, $2^5=32$이므로 $\log_2 32 = 5$이다.
예시 2. $\log_2(x-1) = 3$을 풀면 $x-1 = 2^3 = 8$, 즉 $x=9$. 이때 진수 조건 $x-1>0$, 즉 $x>1$을 만족하므로 $x=9$는 타당한 해이다.
예시 3. 밑의 변환을 이용해 $\log_4 8$을 계산하면
$$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$
지진의 세기를 나타내는 리히터 규모는 로그로 정의된다. 지진계에 기록된 진폭이 10배 커질 때마다 리히터 규모는 1씩만 증가하도록 정해져 있는데, 이는 규모 $M$이 진폭 $A$에 대해 $M = \log(A/A_0)$ 꼴(기준 진폭 $A_0$)로 계산되기 때문이다. 그래서 규모 5인 지진과 규모 7인 지진은 숫자로는 2밖에 차이가 안 나 보이지만, 실제 진폭은 $10^2=100$배나 차이가 난다. 이렇게 어마어마하게 큰 범위를 갖는 값을 다룰 때, 로그는 자릿수 차이를 다루기 쉬운 작은 숫자로 압축해 주는 역할을 한다.
잘못된 생각: $\log(a+b) = \log a + \log b$일 것이다. 왜 틀렸는지: 로그의 덧셈 법칙은 존재하지 않는다. $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$처럼 곱이 합으로 바뀌는 것이지, 합 자체를 로그의 합으로 쪼갤 수는 없다. 예를 들어 $\log_2(2+2)=\log_2 4=2$이지만 $\log_2 2 + \log_2 2 = 1+1=2$는 우연히 같은 값이 나온 것일 뿐, 일반적으로 $\log_2(a+b)\neq \log_2 a + \log_2 b$이다.
잘못된 생각: 로그방정식을 풀 때 진수 조건은 확인하지 않아도 된다. 왜 틀렸는지: $a^x=N$의 정의 자체가 $N>0$을 전제로 한다. 방정식을 대수적으로 풀어 나온 해가 진수를 음수나 $0$으로 만들면 그 해는 애초에 정의역 밖의 값이므로 반드시 버려야 한다.
잘못된 생각: 밑을 쓰지 않은 $\log N$은 항상 자연로그(밑이 $e$)이다. 왜 틀렸는지: 고등학교 교육과정에서 밑을 생략한 $\log N$은 상용로그, 즉 밑이 $10$인 로그를 뜻한다. 자연로그는 보통 $\ln N$처럼 따로 표기해 구별한다.
16세기 말 천문학과 항해술에서는 큰 자릿수의 수를 곱하고 나누는 계산이 필수였는데, 손으로 이런 계산을 하는 데 며칠씩 걸려 큰 부담이었다. 스코틀랜드의 존 네이피어는 곱셈을 덧셈으로 바꿔 계산 부담을 줄이는 방법을 오랫동안 연구했고, 1614년에 로그의 개념과 계산표를 담은 책을 발표했다. 이후 헨리 브리그스가 네이피어와 협력하여 밑을 10으로 하는 방식(오늘날의 상용로그)을 정리하고 그 값을 표로 만들어 널리 보급했는데, 이는 십진법을 쓰는 계산에 더 실용적이었기 때문이다. 이렇게 만들어진 로그표 덕분에 큰 수의 곱셈과 나눗셈을 훨씬 짧은 시간에 처리할 수 있게 되었고, 이후 계산자(slide rule) 같은 도구에도 로그의 원리가 그대로 활용되었다.