이 개념은 지수의 역연산으로서 로그를 정의하고, 로그의 성질과 상용로그를 다룬다.
양수 $a$($a>0$, $a\neq 1$)와 양수 $N$에 대하여 $a^x = N$을 만족시키는 실수 $x$는 오직 하나 존재한다. 이 $x$를 $a$를 밑으로 하는 $N$의 로그라 하고
$$x = \log_a N$$
로 나타낸다. $\log_a N$은 "로그 밑 $a$, 진수 $N$"이라 읽는다. 여기서 $a$를 밑, $N$을 진수라 하며, 로그가 정의되려면 반드시
을 모두 만족해야 한다. 특히 밑을 따로 쓰지 않고 그냥 $\log N$이라 쓰면 밑이 $10$인 로그, 즉 상용로그를 뜻한다.
지수 $a^x=N$은 "$a$를 몇 번 곱해야 $N$이 되는가"를 $N$에서 거꾸로 물어보면 "$a$를 몇 번 곱해야 하는가"의 답, 즉 지수 $x$를 구하는 문제가 된다. 로그는 바로 그 지수 $x$의 값이다. 예를 들어 $2^3=8$이라는 곱셈 정보를 뒤집어서 "$8$은 $2$를 세 번 곱한 것"이라고 답하는 것이 $\log_2 8 = 3$이다. 즉 로그는 지수와 서로 역함수 관계이며, 이 관계를 함수로 확장한 것이 로그함수이다.
$a>0$, $a\neq 1$, $M>0$, $N>0$일 때 다음이 성립한다.
예시 1. $\log_2 32$를 구하면, $2^5=32$이므로 $\log_2 32 = 5$이다.
예시 2. $\log_2(x-1) = 3$을 풀면 $x-1 = 2^3 = 8$, 즉 $x=9$. 이때 진수 조건 $x-1>0$, 즉 $x>1$을 만족하므로 $x=9$는 타당한 해이다.
예시 3. 밑의 변환을 이용해 $\log_4 8$을 계산하면
$$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$
잘못된 생각: $\log(a+b) = \log a + \log b$일 것이다. 왜 틀렸는지: 로그의 덧셈 법칙은 존재하지 않는다. $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$처럼 곱이 합으로 바뀌는 것이지, 합 자체를 로그의 합으로 쪼갤 수는 없다. 예를 들어 $\log_2(2+2)=\log_2 4=2$이지만 $\log_2 2 + \log_2 2 = 1+1=2$는 우연히 같은 값이 나온 것일 뿐, 일반적으로 $\log_2(a+b)\neq \log_2 a + \log_2 b$이다.
잘못된 생각: 로그방정식을 풀 때 진수 조건은 확인하지 않아도 된다. 왜 틀렸는지: $a^x=N$의 정의 자체가 $N>0$을 전제로 한다. 방정식을 대수적으로 풀어 나온 해가 진수를 음수나 $0$으로 만들면 그 해는 애초에 정의역 밖의 값이므로 반드시 버려야 한다.
잘못된 생각: 밑을 쓰지 않은 $\log N$은 항상 자연로그(밑이 $e$)이다. 왜 틀렸는지: 고등학교 교육과정에서 밑을 생략한 $\log N$은 상용로그, 즉 밑이 $10$인 로그를 뜻한다. 자연로그는 보통 $\ln N$처럼 따로 표기해 구별한다.