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닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$가 있다고 하자. 구간 $[a,b]$를 $n$등분하여 각 소구간의 길이를 $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$이라 하고, $k$번째 소구간에서 임의로 택한 점을 $x_k$라 하면, 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x$($\sum$는 시그마라 읽고, 여러 항의 합을 나타내는 기호다)는 $n \to \infty$일 때 일정한 값에 가까워지며, 이 값은 소구간을 나누는 방법이나 $x_k$를 택하는 방법과 관계없이 항상 같다. 이 극한값을 $f(x)$의 $a$에서 $b$까지의 정적분이라 하고
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$$
로 나타낸다.($\int$는 인테그럴이라 읽는다) 이때 $a$를 아래끝, $b$를 위끝이라 한다.
미적분의 기본정리에 의해, $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면
$$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$$
가 성립한다. 그래서 실제 계산에서는 극한을 직접 구하지 않고 부정적분을 이용한다.
정적분은 구분구적법에서 배운 "잘게 나누어 더한 뒤 극한을 취한다"는 생각을 함수 전체에 적용한 것이다. 그래프 $y=f(x)$와 $x$축, 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 영역을 아주 얇은 직사각형 $n$개로 잘라 넓이를 더하면 근사값을 얻고, $n$을 한없이 크게 하면 이 근사값이 실제 값에 가까워진다. 다만 정적분은 단순한 넓이가 아니라 "부호가 있는 넓이"다. $f(x)$가 $x$축 위에 있으면 그 부분은 양수로, 아래에 있으면 음수로 계산되어 서로 상쇄될 수 있다.
구분구적법에서 넓이를 구할 때는 매번 $n$등분한 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$의 극한을 직접 계산했다. 이 극한 자체가 정적분의 정의이지만, $f(x)=x^2$처럼 조금만 복잡한 함수라도 이 극한을 매번 손으로 계산하는 것은 매우 번거롭다. 이 번거로움을 피하려면, 극한을 직접 계산하지 않고도 정적분의 값을 구하는 방법을 찾아야 한다.
이를 위해 아래끝 $a$를 고정하고, 위끝을 변수 $x$로 바꾼 새로운 함수를 만들어 보자.
$$S(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad (a \le x \le b)$$
$S(x)$는 구간 $[a,x]$에서 $f$와 $x$축 사이의 (부호 있는) 넓이를 나타내는 함수다. 이 함수 $S(x)$를 미분하면 어떻게 될까? 도함수의 정의에 따라
$$S'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{S(x+h)-S(x)}{h}$$
인데, 정적분의 성질(구간의 덧셈)에 의해
$$S(x+h)-S(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^{x}f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$$
이다. $f$가 함수의 연속이므로 $h$가 아주 작을 때 구간 $[x,x+h]$에서 $f(t)$는 거의 $f(x)$와 같은 값을 가지므로, $\displaystyle\int_x^{x+h} f(t)\,dt \approx f(x)\cdot h$로 근사할 수 있다(폭 $h$, 높이 $f(x)$인 직사각형 넓이). 따라서
$$\frac{S(x+h)-S(x)}{h} \approx f(x)$$
이고, $h\to0$일 때 이 근사는 등식이 되어 $S'(x) = f(x)$를 얻는다.
이는 $S(x)$가 $f(x)$의 한 부정적분이라는 뜻이다. $f(x)$의 임의의 부정적분을 $F(x)$라 하면, 부정적분끼리는 상수 차이만 나므로
$$S(x) = F(x) + C$$
인 상수 $C$가 존재한다. 그런데 $x=a$를 대입하면 $S(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,dt = 0$(같은 점에서 시작해 같은 점에서 끝나는 구간의 넓이는 0)이므로
$$0 = F(a) + C \implies C = -F(a)$$
이다. 따라서 $S(x) = F(x) - F(a)$이고, 여기에 $x=b$를 대입하면
$$\int_a^b f(x)\,dx = S(b) = F(b) - F(a)$$
를 얻는다. 이것이 정적분을 극한 대신 부정적분으로 계산할 수 있게 해주는 미적분의 기본정리다.
예시 1. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx = \big[x^2+x\big]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 10$
예시 2. $\displaystyle\int_{-1}^{2} x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 3$
예시 3 (부호가 있는 값). $\displaystyle\int_{-2}^{1} x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^{1} = \dfrac12 - 2 = -\dfrac32$
세 번째 예시는 구간 $[-2,0]$에서 $x<0$인 부분이 $[0,1]$에서 $x>0$인 부분보다 넓어서 전체 값이 음수가 된 경우다. 아래 그래프에서 $y=x$가 구간의 왼쪽 대부분에서 음수임을 확인할 수 있다.
물체의 속도 $v(t)$를 시간에 대해 정적분하면 이동 거리를 구할 수 있다. 예를 들어 어떤 자동차의 속도가 $v(t)=4t$(m/s)라면, $t=0$부터 $t=3$까지 이동한 거리는 $\displaystyle\int_0^3 4t\,dt = \big[2t^2\big]_0^3 = 18$(m)이다. 이렇게 순간마다 달라지는 속도로부터 누적된 총 이동 거리를 구하는 데 정적분이 쓰인다.
고대 그리스의 아르키메데스는 포물선이나 원처럼 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 "잘게 나눈 도형을 채워 넣는" 방법(취진법)으로 계산했지만, 이 방법은 도형마다 새로운 아이디어가 필요해서 일반적인 공식으로 정리되지 못했다. 17세기 후반 뉴턴과 라이프니츠는 각자 독립적으로, 넓이(정적분)를 구하는 문제가 변화율(미분)을 거꾸로 되짚는 문제와 정확히 반대라는 사실을 발견했다 — 이것이 오늘날의 미적분의 기본정리다. 이 발견 덕분에 매번 넓이의 극한을 직접 계산하지 않고도 부정적분을 이용해 정적분을 계산할 수 있게 되었다. 적분 기호 $\int$는 라이프니츠가 "합"을 뜻하는 라틴어 summa의 첫 글자 S를 길게 늘여 쓴 것에서 비롯되었다. 이후 19세기에 독일의 수학자 베른하르트 리만이 이 문서의 정의에 쓰인 것과 같이 구간을 나누어 합을 만들고 극한을 취하는 방식으로 정적분을 엄밀하게 정의하면서, 오늘날 사용하는 형태로 다듬어졌다.